Guia Ets Ecuaciones Diferenciales

GUÍA PARA EL EXAMEN A TÍTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

IE, ICA, ISISA
I.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

VARIABLES SEPARABLES
Para esta sección se proporciona la solución completa de las ecuaciones para que puedas repasar las
técnicas de integración, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las
integrales queresultan:

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el método de sustitución:

1. ( x  y)dx  xdy  0

2. xdx  ( y  2 x)dy  0

3. ydx  2( x  y)dy

y   x ln x  cx

( x  y) ln x  y  x  c( x  y)

2y  x
c
y2

4. ( x  y)dx  xdy  0

5. ( y 2  yx)dx  x 2 dy  0

6. ( y 2  yx)dx  x 2 dy  0

y

7.



1 1
cx  x2



y

dy y  x

dx y  x

ln( x  y )  2 tan
2

2

2x  y
 (cx ) 2
y

x
ln x  c

8.  ydx  ( x  xy )dy  0

1

x
c
y

ln y  2 x  c
y

ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resuélvala:

1. (2 x  1)dx  (3 y  7)dy  0
x2  x 

3 2
y  7y  c
2

2. (2 x  y)dx  ( x  6 y)dy  0
No es exacta

3. (5x  4 y)dx  (4 x  8 y 3 )dy  0

4. (seny  ysenx)dx  (cos x  x cosy  y)dy  0

5 2
x  4 xy  2 y 4  c
2

xseny  y cos x 

5. (2 y 2 x  3)dx  (2 yx 2  4)dy  0
x 2 y 2  3x  4 y  c

6. (2 y 

1 2
y c
2

1
dy y
 cos 3x)  2  4 x 3  3 ysen3x  0
x
dx x

No es exacta

7. ( x  y) 2 dx  (2 xy  x 2  1)dy  0 ,

y(1)  1

8. (e x  y)dx  (2  x  ye y )dy  0 . y(0)  1
e x  xy  2 y  ye y  e y  2

x 3  3x 2 y  3xy 2  3 y  4
12

ECUACIONESLINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el método de factor integrante.

1
1
y  x   e 2 x  c 3 x
3
9

y

3
3
sen2 x  x 1 cos 2 x  ce  x
2
4

y  x 2e x  ce  x
2

2

1
y  x3e2 x  ce 2 x
3

y

1 2 x
x e  1  ce  x
2

y  2 xe x  ce x

y   x 1 cos x  x 2 senx  cx 2

tan 1 x  c
y
(1  x 2 ) 2

ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando lasustitución apropiada:

1. x 2 y´2 xy  5 y 3
y2 

x
2  cx 5

4. x 2 y´2 xy  5 y 4
y

7x
15  cx 7

2. y 2 y´2 xy 3  6 x

3. y´ y  y 3

y 3  3  ce 3 x

y2 

2

5. x 3 y´2 xy  y 3  0 x  0

y

5x
2  5cx 5

x
ce

2 x

1

6. xy´6 y  3xy

4

3

y  ( x  cx 2 ) 3

MISCELÁNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el método que le sea posible:

y  x 2  2x  c

y  ln(cx)2

13

y  3  x3  c 1

5. ( x  1)

y  2 x 2  1

dy
 x( y 2  1)
dx

6.

y  tanx  1  ln( x  1)  c

dT
 K (T  50) K Constante, T(0)=200
dt

T (t )  50  150e kt

II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el método de coeficientes indeterminados.

1. y´´3 y´2 y  6

2. y´´10 y´25 y  30 x  3

y  c1e x  c2e2x  3

6
3
y  c1e5 x  c2 xe5 x  x 
5
5

3.

4. y´´3 y  48x 2e3 x

1
y´´ y´ y  x 2  2 x
4

7
y  c1e 2 x  c2 xe  2 x  x 2  4 x 
2

6. y´´4 y  3sen2 x

x
1
5. y´´ y´ y  3  e 2
4

y  c1e x / 2  c2 xe x / 2  12 

4
y  c1 cos 3x  c2 sen 3x  (4 x 2  4 x  )e3 x
3

1 2 x/2
xe
2

3
x cos 2 x
4

8. y´´2 y´ y  senx  3 cos 2 x

7. y´´2 y´5 y  e x cos 2 x
y  c1e x cos 2x  c2e x sen2 x 

y  c1 cos 2 x  c2 sen2 x 

1 x
xe sen2 x
4

1
12
9
y  c1e  x  c2 xe  x  cos x  sen2 x  cos 2 x
2
25
25

14

VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el método de variación de parámetros.

1. y´´ y  sec x

2. y´´ y  cos 2 x

y c1cos x  c2 senx  xsenx  cos x ln cos x ; ( / 2,  / 2)

y c1cos x  c2 senx 

4. y´´3 y´2 y  sene x

1
1 ex
y c1e x  c2e2 x  (e x  e2 x ) ln(1  e x )

3. y´´3 y´2 y 

5. y´´2 y´ y 

1 1
 cos 2 x
2 6

y c1e2 x  c2e x  e2 x sene x

6. y´´2 y´ y  e x ln x

ex
1  x2

y c1e x  c2 xe  x 

1
y c1e x  c2 xe x  e x ln(1  x 2 )  xe x tan1 x
2

1 2 x
x e ln x
2

7. 3 y´´6 y´30 y  e x tan 3x
y c1e x cos 3x  c2e x sen3x 

1 x
e cos 3x ln sec 3x  tan 3x
27

8. y´´´...