GUIA Funcion Cuadratica Y Raiz Cuadrada

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Guía Matemática
´ CUADRATICA
´
FUNCION
Y RA´IZ
CUADRADA
´ Melgarejo
profesor: Nicolas

.cl

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1.

Contexto

Detr´as del movimiento que describe un proyectil, la distancia que recorre un objeto que acelera o en la
ca´ıda libre de una manzana, est´
a presente la funci´on cuadr´atica. El concepto de funci´on es transversal a
todas la ciencias tanto naturales comosociales, por tal motivo es importante poder interpretar sus gr´
aficas
y desde ahi extraer conclusiones.

2.

Funci´
on cuadr´
atica
Se denomina funci´
on cuadr´
atica a aquella definida como:
f:

R −→ R
x −→ f (x) = ax2 + bx + c

donde a, b, c son constantes reales con a = 0. Existe una relaci´on directa entre la funci´on cuadr´
atica y
una ecuaci´on de segundo grado del tipo y = ax2 + bx + c queiremos desarrollando en esta gu´ıa.

2.1.

Caracter´ısticas

La ecuaci´on cuadr´
atica no es inyectiva ya que una imagen tiene asociadas dos preim´agenes. Veamos
un caso puntual para f (x) = x2 :
f (3) = 32 = 9
f (−3) = (−3)2 = 9
En general para cualquier x se cumplir´a que x2 = (−x)2 , por lo tanto, hay dos preim´agenes asosciadas
a una misma imagen.
La funci´on cuadr´
atica tampoco es epiyectivaporque el recorrido no es igual al codominio. En estas
condiciones la funci´
on inversa s´
olo existir´
a si “arreglamos” el dominio y el codominio de la funci´
on. Para
ver estas caracter´ısticas con m´
as claridad es recomendable graficar la funci´on.

2.2.

Gr´
afica de la funci´
on f (x) = ax2 + bx + c

La gr´afica de la funci´
on cuadr´
atica se denomina par´
abola la cual es una curvasim´etrica respecto a
una recta paralela al eje de las ordenadas. La par´abola se compone de todos los pares ordenados (x, y) que
satisfacen la ecuaci´
on cuadr´
atica y = ax2 + bx + c. Por ejemplo, si tomamos la funci´on f (x) = x2 + 2x − 3
y la graficamos se obtiene:
2

-4

-2

2

-2

-4

2

4

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Las caracter´ısticas particulares de cada par´abola est´an determinadas por sus coeficientesa, b y c las
cuales estudiaremos a continuaci´
on.
2.2.1.

Coeficiente a

El coeficiente que acompa˜
na a x2 determina el sentido de las “ramas” de la par´abola.
Si a > 0 entonces las “ramas” de la par´abola van hacia arriba.

Una manera de recordarlo es pensando que si a > 0 la par´abola est´a “contenta c:”.
Si a < 0 entonces las “ramas” de la par´abola van hacia abajo.

Una manera de recordarloes pensando que si a < 0 entonces la par´abola est´a “triste :c”.

3

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2.2.2.

Coeficiente c

Si evaluamos x = 0 en una funci´
on cuadr´atica cualquiera f (x) = ax2 + bx + c obtenemos:
f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c
abola y corresponde al intercepto con el eje y de una funci´
on
El punto (0, c) pertenece a la par´
2
cuadr´atica del tipo f (x) = ax + bx + c. A continuaci´on sepresenta la gr´afica de distintas par´abolas con
c = 2.

2.2.3.

Intersecci´
on con el eje x

Si quisi´eramos saber en qu´e puntos la par´abola intersecta al eje x, debemos buscar el o los puntos para
los cuales se cumple que y = 0. Aplicando tal condici´on a la funci´on f (x) = ax2 + bx + c lo que debemos
resolver es:
0 = ax2 + bx + c
Hemos llegado a una ecuaci´
on de segundo grado con unainc´ognita, la cual podemos resolver con la
soluci´on general1 .
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Con esta expresi´
on encontramos las ra´ıces de la ecuaci´on cuadr´atica y con ello los puntos donde la
funci´on cuadr´atica cruza el eje x:
−b +

√

b2 − 4ac
,0
2a

y

−b −

√

b2 − 4ac
,0
2a

Recordemos que una ecuaci´
on cuadr´
atica puede tener a lo m´as 2 soluciones, esto quiere decir que hay
casos para los que s´
olohabr´
a una soluci´
on y otros en donde no habr´a soluci´on real. Todo depende de un
t´ermino llamado discriminante ∆ que se define como:
∆ = b2 − 4ac
1

Cualquier camino para encontrar las ra´ıces o soluciones de la ecuaci´
on de segundo grado es v´
alido

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Los puntos de intersecci´
on con el eje de las abscisas los podemos reecribir en funci´on de ∆ as´ı:
√
√
−b + ∆
−b −...