Guia funcion exponencial


FUNCIÓN EXPONENCIAL; PROPIEDADES Y SUS GRÁFICAS

Las funciones exponenciales son aquellas en que la variable se encuentra en el exponente.
Su forma general es: , con .

Donde:
es un número real positivo distinto de 1, llamado base.
es un número real, llamado exponente.
es un número real, distinto de cero.

El Dominio de la función exponencial es elconjunto de los números reales.

Caso especial
Sí , se tiene la función , llamada Función Exponencial de base , donde es el número irracional

La función exponencial obedece a todas las reglas de operatoria de las potencias. Así:


1. ;
2.
3.
4. ;
5.

6. ;
7. ;
8. ;


Propiedad Fundamental
Si y son dos funciones exponenciales, se cumple .Ejemplo:

Si 2x = 4, entonces al igualar las bases: 2x = 22 se puede afirmar que x = 2.

Ejemplo:

La sustancia radioactiva Estroncio-90, se desintegra a medida que transcurre el tiempo en años. Considerando que la masa , de estroncio-90, en gramos, que va quedando, está determinada por la función: 

a) ¿Cuál es la masa inicial de la sustancia radioactiva Estroncio-90?
b) ¿Cuál es lamasa aproximada que queda de Estrocio-90 al cabo de 3 años?

DESARROLLO
Función exponencial: donde:
 tiempo en años.
masa de estroncio-90 en gramos.

a) Determinar la masa inicial del estroncio, significa que no ha transcurrido tiempo (tiempo inicial), por lo que . Por lo tanto se debe calcular :



Respuesta: La masa inicial de la sustancia radioactiva Estroncio-90 es 20 gramos.b) Determinar la masa que queda de Estroncio-90 al cabo de 3 años, significa que . Por lo tanto se debe calcular :



Respuesta: La masa de Estroncio-90 que queda al cabo de 3 años, es aproximadamente
18,6 gramos.

I. A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL RESPONDA.

1. Se ha proyectado que dentro de t años, la población de una ciudad del sur de nuestro país será de millonesde habitantes. Determine:

a) ¿Cuál es la población actual?
b) ¿Cuál será la población en 12 años más?

2. Una población de ciervos de 1 año de edad se introduce en una zona de caza. El número N(t) de los que aún quedan vivos, después de t años, se puede predecir utilizando la siguiente función: . Determine:

a) ¿Cuántos ciervos se introdujeron inicialmente?
b) Estime el número deciervos vivos después de 5 años.


3. En una empresa el costo de producción de x artículos se modela por la función , donde C se mide en miles de pesos. Determine:

a) ¿Cuál es el costo fijo de producción?
b) ¿Cuál es el costo al producir 100 artículos?

4. Investigaciones médicas recientes dicen que el porcentaje de riesgo R de tener un accidenteautomovilístico puede ser modelado mediante la función: donde x es la concentración de alcohol en la sangre (gr/ml).

a) Según las investigaciones ¿Qué porcentaje de riesgo tiene un conductor que tiene cero concentración de alcohol en la sangre?
b) Un conductor, con una concentración de alcohol en la sangre de 0,6 (gr/ml), ¿qué porcentaje de riesgo tendrá de tener un accidente?

GRÁFICA DE UNAFUNCIÓN EXPONENCIAL

La gráfica de la función exponencial es una curva, cuya forma depende del valor de . Considerando la función , con T = 1 se obtienen las siguientes gráficas:






Observaciones:

La gráfica intersecta al eje Y en 1, es decir, pasa por el punto (0, 1).
Si  se dice que la función es decreciente.
Si  se dice que la función escreciente.
En general para la gráfica interseca al eje Y en T, es decir, en el punto (0, T).
II. DETERMINE LA GRAFICA CORRESPONDIENTE A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL Y RESPONDA

5. En un laboratorio de biotecnología se tiene un cultivo de bacterias en un fermentador. Si al inicio habían 100 bacterias y se duplican cada tres horas, la función que relaciona la cantidad de bacterias y el tiempo...