GUIA Funcion Lineal
road
Guía Matemática
´ LINEAL
FUNCION
´ Melgarejo
profesor: Nicolas
.cl
open green
road
1.
Funci´
on lineal
Es una funci´on de la forma
f (x) = mx
con m constante real no nula
Dicha funci´on determina una proporci´
on directa entre la abscisa y la ordenada.
1.1.
Gr´
afica
Lo que diferencia a una funci´
on lineal de otra es el coeficiente m que determina la proporci´ondirecta
entre x e y. Para entender el efecto de m tomemos algunos ejemplos y analicemos las gr´aficas.
1.1.1.
Si m > 0
Por ejemplo, si m = 2, la funci´
on lineal es f (x) = 2x. Al dar algunos valores a x se obtiene:
f (−3) = 2 · −3 = −6
f (−2) = 2 · −2 = −4
f (−1) = 2 · −1 = −2
f (0) = 2 · 0 = 0
f (1) = 2 · 1 = 2
f (2) = 2 · 2 = 4
f (3) = 2 · 3 = 6
Si ordenamos los valores obtenidos en una tabla y losgraficamos como pares ordenados (x, y) en el
plano cartesiano y luego los unimos, podemos notar que se forma una recta1 la cual se compone de todos
los puntos tales que y = 2x. Cualquier par ordenado de dicha recta es de la forma (x, f (x)) = (x, 2x).
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
y
−6
−4
−2
0
2
4
6
7
6
5
4
3
2
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
La afirmaci´
on viene del hecho deque por 2 puntos distintos pasa una u
´nica recta
2
1
2
3
4
5
6
7
8
☞¡Mira!
open green
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Si ahora consideramos m = 1, la funci´
on es f (x) = y y su gr´afica:
7
6
5
4
3
2
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Al comparar ambas funciones con m > 0 mediante un gr´afico podemos notar que la diferencia entre
ellas es su inclinaci´
on o pendiente.De hecho a la constante m se le denomina pendiente de la recta.
7
6
5
4
3
2
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1.1.2.
Si m < 0
Para estudiar este caso tomemos m = −2, es decir, f (x) = −2x. Al repetir el proceso realizado antes
obtenemos:
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
−2
−4
−6
7
6
5
4
3
2
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
3
12
3
4
5
6
7
8
open green
road
Con esto ya podemos concluir que m en la recta descrita por la funci´on af´ın f (x) = mx corresponde a
la inclinaci´on de la misma. Si nos imaginamos que caminamos de derecha a izquierda sobre una recta con
m < 0 iremos “subiendo” de tal forma que mientras m´as grande sea m la pendiente ser´a m´as empinada;
si m < 0 iremos en una pendiente que “baja”.
7
6
m=2
m =-2
5
4
m =1
3
2
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Por u
´ltimo cabe destacar que la gr´
afica de la funci´on lineal es una recta que pasa siempre por el
origen del eje cartesiano.
2.
Funci´
on af´ın
Es una funci´on de la forma
f (x) = mx + n
con m, n constantes reales no nulas
Las caracter´ısticas de la funci´
on af´ın est´an completamentedeterminadas por los coeficientes m y n.
Para entender qu´e significan m y n en la funci´on haremos el proceso de graficarla en el plano cartesiano
para diferentes valores.
2.1.
Gr´
afica
Consideremos m y n mayores que cero, por ejemplo m = 2 y n = 3, para tal caso la funci´on af´ın es
f (x) = 2x + 3. Generamos una tabla de valores x e y para luego graficarlos.
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
y
−3
−1
1
3
57
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
4
2
3
4
5
6
7
open green
road
Tomemos ahora una funci´
on donde n = 3 al igual que en el caso anterior, por ejemplo g(x) = x + 3,
donde m = 1. Si repetimos el proceso anterior obtenemos la siguiente gr´afica:
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
Si mantuvimos fijo n = 3 para las funciones f (x) = 2x + 3 y g(x) =x + 3 ¿qu´e tienen en com´
un las
dos gr´aficas? La respuesta a esta pregunta es el intercepto con el eje y. De hecho la condici´on para
que una funci´
on cualquiera intersecte al eje y es que x = 0. Si evaluamos x = 0 en una funci´
on af´ın
cualquiera se tiene:
9
f (x) = mx + n
8
f (0) = m · 0 + n
7
f (0) = n
6
5
Entonces cuando x = 0, y = n independientemente del
valor de m.
4
n
3...
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