GUIA Inecuaciones

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Guía Matemática
INECUACIONES
´ Melgarejo
profesor: Nicolas

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1.

Orden en R
Consideremos un conjunto compuesto por s´ımbolos no num´ericos como el siguiente:
A = {Œ, Ø, !, #, Æ, ø}

No es posible ordenar el conjunto en base a alg´
un par´ametro bien definido, porque los elementos no
cumplen ning´
un axioma o teorema que nos aclare c´omo est´an construidos.En otras palabras, no podemos
definir si un elemento es mayor o menor a otro.
Por otro lado, todo elemento del conjunto de los n´
umeros reales cumple con la ley de tricotom´ıa, la
cual dice que si tomamos un n´
umero cualquiera de R ´este cumplir´a con una y s´olo una de las siguientes
afirmaciones: ser´
a igual a cero ´
o mayor a cero ´o menor que cero. En simbolog´ıa algebraica:
Ley detricotom´ıa: Para todo a ∈ R se cumple una
y s´
olo una de las afirmaciones:
i. a = 0
ii. a < 0
iii. a > 0
Los s´ımbolos > “mayor que” y < “menor que” denotan una relaci´
on de orden entre los elementos.

1.1.

Definici´
on de los s´ımbolos de desigualdad

Para a, b ∈ R la relaci´
on de desigualdad denotada por los s´ımbolos > y < se define como:
i. a > b si y s´
olo si a − b > 0
ii. a < b si y s´
olo si a −b < 0
En base a lo anterior, el conjunto de los n´
umeros reales R cumple con una serie de propiedades de
orden que nos permite decir que R es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que para cualesquiera
dos elementos a, b ∈ R se cumple una y s´
olo una de las siguientes afirmaciones:
i. a = b

a es igual que b

ii. a < b

a es menor que b

iii. a > b

a es mayor que b

Este teorema nos aseguraque siempre podremos encontrar una relaci´
on de orden entre dos elementos
del conjunto de los n´
umeros reales. Adem´
as para a, b ∈ R se define:
a ≥ b si y s´olo si a > b ´o a = b
a ≤ b si y s´olo si a < b ´o a = b

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1.2.

Teoremas b´
asicos de desigualdades

A continuaci´
on enumeramos una serie de teoremas sobre las relaciones de orden. Por el enfoque del
documento lasdemostraciones quedan como trabajo sugerido para el lector1 .
i.- Para cualquier a, b, c ∈ R se cumple que a ≤ b si y s´olo si a + c ≤ b + c
Esta doble implicancia la podemos entender as´ı: “Si tengo una cantidad a menor o igual a otra b,
entonces la desigualdad se mantendr´a si a ambas cantidades les sumo la misma cantidad c”.
Si leemos la doble implicancia de derecha a izquierda podemos entenderlaas´ı: “Si una cantidad a + c
es menor o igual a b + c, entonces tambi´en ser´a cierto que a es menor o igual a b”.
Este teorema nos permitir´
a sumar o restar en una desigualdad y mantener el sentido de ´esta.
ii.- Para cualquier a, b, c ∈ R:
a) Si a ≤ b y c > 0, entonces a · c ≤ b · c
b) Si a ≤ b y c < 0, entonces a · c ≥ b · c
En palabras simples, si multiplicamos ambos miembros de una desigualdadpor un n´
umero positivo
c > 0, entonces el signo de la desigualdad se mantiene, pero si multiplicamos ambos miembros de
una desigualdad por un n´
umero negativo c < 0, entonces el signo de la desigualdad se invierte.
iii.- Si a > b y b > c, entonces a > c
iv.- a · b > 0 si y s´
olo si (a > 0 y b > 0) ´
o (a < 0 y b < 0)
Es decir, si la multiplicaci´
on de dos cantidades es mayor que cero,entonces puede ser que ambas
cantidades sean mayores que cero o´ que ambas cantidades sean menores que cero.
v.- a · b < 0 si y s´
olo si (a > 0 y b < 0) o´ (a < 0 y b > 0)
Es decir, si la multiplicaci´
on de dos cantidades es menor que cero, entonces la primera ser´
a mayor
que cero y la segunda menor que cero ´o la primera ser´a menor que cero y la segunda mayor que cero.
vi.- Si a > 0, entonces −a <0
vii.- Si a < 0, entonces −a > 0
viii.- Si a > 0, entonces a−1 > 0
ix.- Si a < 0, entonces a−1 < 0
x.- Si a, b ∈ R+ y a > b entonces

1
1
<
a
b

xi.- Si a, b ∈ R− y a > b entonces

1
1
<
a
b

xii.- Si a ∈ R+ y b ∈ R− entonces

1
1
>
a
b

xiii.- Si a ∈ R− y b ∈ R+ entonces

1
1
<
a
b

xiv.- Si a ∈ R y a = 0, entonces es siempre cierto que a2 > 0
1

Se recomienda revisar los apuntes de C´...