GUIA INTERVALOS DE CONFIANZA

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
GUIA EJERCICIOS
ESTIMACION POR INTERVALOS

EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Para estudiar la calidad de un terreno en cierta región del Norte, se consideró una muestra de 125
ejemplares de minerales, cuyos pesos se registran en la siguiente tabla:
Peso en
gramos
0-40
40-80
80-140

N°
Ejemplares
57
52
16

Los mineralesrecolectados se clasifican según su peso en tipos A, B, y C siendo los del tipo B
los que tienen un peso superior a 70 gramos e inferior a 100 gramos. Encuentre un intervalo
de confianza del 90% para la proporción de minerales del tipo B en la región.
SOLUCION:
X: Cantidad de minerales tipo B en la región

⎛

IC ( p) 0,90 = ¿?

= ⎜ ˆp m z ⎛

⎜
⎝

α⎞
⎜ 1− ⎟
⎝ 2⎠

ˆp(1 − ˆp ) ⎞⎟
⎟
n
⎠

Y: Peso en gramosde los minerales
Minerales tipo B: 70 < Y < 100

⎞
⎛ 125 ⋅ i
− 57 ⎟
⎜
⎟ ⇒ i = 76,8%
70 = 40 + 40 ⋅ ⎜ 100
52
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎛ 125 ⋅ j
⎞
− 109 ⎟
⎜
⎟⇒
100 = 80 + 60 ⋅ ⎜ 100
16
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

j = 91,5%

pˆ = (j − i)/100 = (91,5 − 76,8)/100 = 0,147

z⎛

α⎞
⎜⎜ 1 − ⎟⎟
2⎠
⎝

= z0 ,95 = 1 ,65

IC(p)0,90 = ( 0,147 ± 1,65

0,147 ⋅ (1 − 0,147 )
125

) = (0,095; 0,199)

2.- Un fabricante produce focos que tienenun promedio de vida con distribución aproximadamente normal
y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas.
2.1. Encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media poblacional de todos los focos que
produce esta empresa.
2.2. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra, si se desea tener una confianza del 96% de que
la mediamuestral esté dentro de las 10 horas del promedio real?
SOLUCION:
X: Horas de vida útil de los focos.
X ∼ N ( μ; σ 2 = 40 2 )
n = 30; x = 780
⎛
⎞
⎜
⎟
x −μ
2.1. P ⎜ a <
< b ⎟ = 0,96 ⇒
σ
⎜
⎟
n
⎝
⎠

2,0537 ⋅ 40
2,0537 ⋅ 40 ⎞
⎛
IC(μ) 0,96 = ⎜ 780 −
; 780 +
⎟
30
30
⎝
⎠
Un IC del 96% para μ es (765; 795) horas

2,0537 ⋅ σ ⎞
⎛ − 2,0537 ⋅ σ
< x −μ <
⎟ = 0,96
n
n
⎝
⎠

2.2. P ⎜

2,0537 ⋅ 40
= 10 ⇒ n ≥ 68
n
3. Elajuste a una máquina cambia la longitud de las piezas que produce, pero no afecta a
la desviación estándar. La longitud de las piezas está distribuida normalmente y la desviación estándar
es de 0,5 mm. Después de hacer el ajuste, se toma una muestra aleatoria para determinar la longitud
media de las piezas producidas. Las longitudes resultantes son las que a continuación se presentan.
Con unaconfianza del 99% encuentre un intervalo para la longitud promedio de las piezas.
75,3 76,0 75,0 77,0 75,4 76,3 77,0 74,9 76,5 75,8
SOLUCION:
X: Longitud de piezas, en mm.
X∼ N(μ; 0,52)
n = 10
1-α = 0,99

⎡

IC(μ)0,99 = ⎢ x − z 0,995 ⋅

⎣

⎡

0,5
0,5 ⎤
; x + z 0,995 ⋅
n
n ⎥⎦

= ⎢75,92 − 2,575 ⋅

⎣

0,5
0,5 ⎤
; 75,92 + 2,575 ⋅
10
10 ⎥⎦

IC(μ)0,99 = [75,5129; 76,3271] (mm.)

4.- En una muestra de 1000casas en una determinada ciudad, se encuentra que 228 de ellas tienen
calefacción eléctrica. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción de hogares en
esta ciudad, que tiene ese tipo de calefacción.

SOLUCION:
X: Cantidad de casas que poseen calefacción eléctrica. X∼ B(p)
228
pˆ =
= 0,228
1000
⎞
⎛
⎟
⎜
ˆ
p
p
−
⎟
⎜
P⎜ − 2,5758 <
< 2,5758 ⎟ = 0,99
ˆ (1 − pˆ )
p
⎟
⎜
⎟
⎜
n
⎠
⎝
pˆ(1 −pˆ ) ˆ
+ p = 0,1938
n

LI : −2,5758 ⋅

pˆ(1 − pˆ ) ˆ
+ p = 0,2622
n

LS : 2,5758 ⋅

Un IC del 99% es (0,1938; 0,2622)
5.- Las temperaturas corporales de 106 ciudadanos norteamericanos, fueron en 98.2º Farenheit con
una desviación estándar de 0,62. Para un grado de confianza de 0,95 calcule:
a) El margen de error
b) El intervalo de confianza
SOLUCION:
a)

E = zα
b)

⋅
2

δ
n

= 1 ,96

0 . 62
106

= 0. 12

x − E < μ < x + E
98 . 20 − 0 . 12 < μ < 98 . 20 + 0 . 12
98 . 08 < μ < 98 . 32

6.- Un contador auditor desea estimar los ingresos medios durante el primer año de trabajo de un
graduado universitario que, en un alarde de sabiduría, tomó un curso de estadística. ¿Cuántos de tales
ingresos es necesario encontrar si queremos tener una confianza del 95% que la media de la población
de...