Guia limites

LIMITE DE FUNCIONES

1. L´ ımites bilaterales. Definici´n 1.1. Sea f : Dom(f ) → R y sea a ∈ R. o Supongamos que existe alg´n α > 0 tal que (a − α, a + α) \ {a} ⊂ u Dom(f ). Se dice que f (x) tiende a l cuando x tiende a a, y se escribe
x→a

lim f (x) = l,

si y s´lo s´ o ı ∀ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ Dom(f ) y 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < . En lo que sigue de esta secci´n cuandohablemos de lim f (x) o x→a siempre estaremos pensando en el caso que existe alg´ n α > 0 u tal que {(a − α, a + α) \ {a}} ⊂ Dom(f ). El alumno interesado puede consultar alg´n texto donde se vea el concepto de punto de acumulaci´n u o de un conjunto y se d´ un tratamiento m´s general del concepto de e a l´ ımite. Para el caso de x→a f (x) si el dominio de f es de la forma (a, b) lim vea la secci´nsobre l´ o ımites por la derecha y por la izquierda. Observaci´n: o (1) Intuitivamente que lim f (x) = l significa que cuando la variable x→a x se acerca a a a lo largo del dominio de f , el valor de la funci´n o f (x) se acerca a l. ımite no de(2) Hacemos notar que el valor, y la existencia, del l´ penden del valor de la funci´n en el punto a sino del valor de f o en los puntos del dominio cercanosa a. La funci´n f ni siquiera o necesita estar definida en a para definir lim f (x).
x→a

Date:
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LIMITE DE FUNCIONES

(3) Si f y g son dos funciones tales que para a ∈ R se tiene que existe α > 0 tal que {(a − α, a + α) \ {a}} ⊂ Dom(f ) y {(a − α, a + α) \ {a}} ⊂ Dom(g). Entonces si f (x) = g(x) ∀ x ∈ (a − α, a + α) \ {a}, se tiene que
x→a

lim f (x) existe si y s´lo s´ lim g(x)existe o ı
x→a

y en el caso de que ambos existan se tiene
x→a

lim f (x) = x→a g(x). lim

Observaci´n: o La observai´n siguiente suele ser util. o ´ Las cuatro afirmaciones siguientes son equivalentes: 1) lim f (x) = l.
x→a

2) x→a(f (x) − l) = 0. lim 3) lim |f (x) − l| = 0.
x→a h→0

4) lim f (a + h) = l. Ejemplo: Probar que si n ∈ N y n > 0, entonces lim xn = 0.
x→0

Soluci´n: oSi alguien nos da un debemos encontrar un δ tal que cada vez que 0 < |x − 0| < δ se tenga |xp − 0| < . Esto es bastante f´cil ya que si alguien nos da un nosotros escogemos a 1 δ = n y entonces se tiene 0 < |x| < δ ⇒ |xn | = |x|n < δ n = . Ejercicio:

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Sea f definida por
 2  x +2   2  x  

f (x) =  17  x2     2 x −7 a) Grafique la funci´n. o b) Compruebeque
x→0

si si si si si

x < −1 −1 ≤ x < 0 x=0 0 0 tal que
x→a

0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − l| < . 2 Como lim g(x) = m, existe δ2 > 0 tal que
x→a

0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g(x) − m| < . 2 Observamos que |(f (x) + g(x)) − (l + m)| ≤ |f (x) − l| + |g(x) − m|. Ahora tomando δ = min(δ1 , δ2 ) tenemos 0 < |x−a| < δ ⇒ |(f (x)+g(x))−(l+m)| ≤ |f (x)−l|+|g(x)−m| < + = 2 2 lo que termina lademostraci´n. 2 o Antes de dar el teorema para el producto y el cociente veremos el teorema del Sandwich que es bastante util. ´ Teorema 1.4. (del sandwich.) Sean f, g, h tres funciones tales que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ {(a − α, a + α) \ {a}} para alg´n α > 0. u Entonces si
x→a

lim f (x) = x→a h(x) = l. lim lim g(x) = l.

se tiene que x→a g(x) existe y lim
x→a

Demostraci´n: o Sea > 0 dado.Necesitamos probar que existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ l − < g(x) < l + . Sabemos que existe 0 < δ1 < α tal que 0 < |x − a| < δ1 ⇒ l − < f (x) < l + y que existe 0 < δ2 < α tal que 0 < |x − a| < δ2 ⇒ l − < h(x) < l + .

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Tomando δ = min(δ1 , δ2 ) tenemos que 0 < |x − a| < δ ⇒ l − < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < l + como se quer´ demostrar. 2 ıa Tenemos tambi´n el siguienteteorema. e Teorema 1.5. Sean f, g dos funciones tales que f (x) ≤ g(x) ∀ x ∈ {(a − α, a + α) \ {a}} para alg´n α > 0. u Entonces si x→a f (x) y x→a g(x) ambos existen, se tiene lim lim
x→a

lim f (x) ≤ lim g(x).
x→a

Demostraci´n: La demostraci´n se hace por contradicci´n y la deo o o jamos como ejercicio. 2 Ejercicio: Si en el teorema precedente se supone f (x) < g(x) ∀ x ∈ {(a − α, a +...