guia mate 1

Funciones

 


 

 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES:



 TIPOS DE FUNCIONES:
Existen diversos tipos de funciones cuya clasificación se realiza observando la fórmula de las mismas. Las funciones elementales abarcan a las funciones algebraicas y las funciones tracendentes (que no son algebraicas): funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funcionesexponenciales, funciones logarítmicas, funciones hipérbolicas y funciones hiperbólicas inversas. El análisis de la mayor parte de las funciones requiere la aplicación del concepto de límite y del cálculo, por ejemplo, para hallar las asíntotas horizontales y verticales se requiere de límites, para determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o hacia abajo seutiliza el cálculo diferencial.
Primero vamos a definir aquellas funciones en las que podamos aplicar los conocimientos adquiridos hasta este punto.

 


Funciones

 


 

 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES:



 TIPOS DE FUNCIONES:
Existen diversos tipos de funciones cuya clasificación se realiza observando la fórmula de las mismas. Las funciones elementales abarcan a lasfunciones algebraicas y las funciones tracendentes (que no son algebraicas): funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones hipérbolicas y funciones hiperbólicas inversas. El análisis de la mayor parte de las funciones requiere la aplicación del concepto de límite y del cálculo, por ejemplo, para hallar las asíntotashorizontales y verticales se requiere de límites, para determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o hacia abajo se utiliza el cálculo diferencial.
Primero vamos a definir aquellas funciones en las que podamos aplicar los conocimientos adquiridos hasta este punto.

 


Límites y continuidad

 LÍMITES

     El concepto de límite es la basefundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.






 Definición de límite
     Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con unafunción particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  f (x):
x
f (x)
Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2,  f(x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre  f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente seaproxima también a un valor constante.
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41



|x  2|
| f (x)  3|

|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| =0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  f (x) cuando x tiende a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:
 Definición épsilon-delta

     Sea  f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El...