guia mate

Matem´tica III
a
Tercera Gu´ de Ejercicios
ıa

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Universidad Tecnica
Federico Santa Mar´
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´
Departamento de Matematica

Coordinaci´n MAT-023
o
Primer Semestre 2014

1. Determine latransformada de Laplace de las siguientes funciones:
(a) cos2 t.
(b) cos3 t.
(c) (1 + te−t )3 .
(d) | sen(t + π)|.
2. Calcular
(a) L −1 [e−s ln(1 + 1/s)](t).
(b) L −1 ln
(c) L −1

s2 + 1(t)
s2 − 1

e−2s + s2
(t).
(s + 2)(s + 1)

(d) L −1 e−2s

s3 + 4s + 4
(t)
s(s2 + 4)

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales
(a) y − 3y + 2y = µ(x −6),

y(0) = y (0) = 0.

(b) y − 3y − 4y = µ(x − 1) + µ(x − 2),

y(0) = 0, y (0) = 1.

(c) y + 4y + 5y = δ(x − π) + δ(x − 2π),

y(0) = 0, y (0) = 2.

(d) y − 4y + 3y = 8δ(x − 1) + 12µ(x −2),

y(0) = 1, y (0) = 5

4. Si L [f (t)](s) = ϕ(s), pruebe que para r > 0 rige:
L [rt f (at)](s) =

1
ϕ
a

s − ln r
a

,

a = 0.

5. Probar las siguientes identidades utilizando laspropiedades de la transformada de Laplace
(a)
(b)

∞ e−2x −e−3x
dx
x
0
−x
t
L 0 1−e dx
x

(c) L

cos at−cos bt
t

= ln 3 .
2
(s) =

(s) =

1
2

1
s

ln 1 +

ln

s2 +b2s2 +a2

1
s

.
.

6. Resolver ty (t) + 2y (t) + ty(t) = t,

y(0) = 2, y(π) = 1.

7. Determine todos los valores de p ∈ R, si existen, de modo que el problema de valor inicial:
ty + 4y +9ty = cos(3t),
y(0) = 0,

t>0

y (0) = p,

tenga soluci´n.
o
8. Sea J0 (t) la soluci´n del problema
o
ty (t) + y (t) + ty(t) = 0,
Pruebe o refute que L [tJ0 (t)] (s) = √

y(0) = 1, y(0) = 0.

s
.
+1

s2

Juan Carlos Chavarr´ – Alejandro Aguilera
ıa

3 de junio de 2014

9. Hallar la soluci´n acotada del problema: Encontrar y = y(t), t ≥ 0 tal que
o
(t − 1)y + (5 −4t)y − 4y = 0,

y(0) = 0.

10. (a) Determine la transformada de Laplace de la soluci´n z(t), del problema de valores
o
iniciales
d2 z
dz
+a
+ bz = δ(t − 1),
2
dt
dt

z (0) = z(0) = 0...