guia matematica practica 5
Páginas: 21 (5077 palabras)
Publicado: 29 de mayo de 2014
Guía 5 – Derivadas
Matemática CBC
2014
Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue
hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor
intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material,
responder tus dudas y mucho más durante toda tu carrera en www.exapuni.com,
sumate!Derivadas
Ejercicio 1. Hallar, utilizando…
Comenzamos con la unidad de derivadas, al principio probablemente te sientas
perdido, a medida que vayas viendo los ejercicios vas a ver que la lógica de resolución
es similar y si te aprendes todas las reglas de derivación no vas a tener ningún
problema. Te recomiendo que antes de ver la resolución intentes resolver los
ejercicios por tu cuenta.
Elprimer tema que vamos a ver es derivada por definición, no es más que
aplicar una fórmula que nos permite obtener la derivada de una función en un punto. La
formula es la siguiente:
( )
Donde
( )
( )
es la manera de expresar la derivada de la función y
es el punto en el que
queremos obtener la derivada. Vamos a aplicar esto al primer ejercicio de la guía.
Bajate los resueltos yrespondé tus dudas en www.exapuni.com
1
Aclaración: Existen otras maneras de determinar la derivada por definición (usando
otras formulas), utilizamos esta porque nos parece que es la más sencilla.
a)
( )
(
)
Aplicamos la derivada por definición (vamos a obtener la derivada en un punto, en este
caso el punto es
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)()
( )
Por la tanto la derivada en el punto
es . Es muy importante tener en cuenta que
la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la función. En este
caso como estamos buscando la derivada de la función en un punto estamos obteniendo
la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
Para que se entienda mejor dejamos un
gráfico. La funcióncurvada (verde) sería
nuestra función original y la función lineal
(azul) es la recta tangente a la función en
el punto .
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2
La recta tangente tiene la siguiente forma:
( )(
Ya obtuvimos
)
( )
( ) utilizando la derivada por definición, nos falta determinar ( ).
( )
( )
Por lo tanto la recta tangente a la función enel punto
⏟( ) (
(
⏟)
es:
( )
⏟
)
Ahora graficamos:
b)
( )
(
)
Derivemos por definición:
( )
( )
(
)
(
( )
( )
(
)
)
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3
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
Ya tenemos la pendiente de la recta tangente a la función en el punto
. Ahora
podemos determinar la rectatangente:
( )(
(
)
( )
)
Graficamos:
c)
( )
(
)
Derivemos por definición:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
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( )
( )
(
)
(
( )
)(
(
)
)
Ahora podemos determinar la recta tangente:
( )(
(
)
( )
)
Graficamos:
d)
( )
(
)
Derivemos por definición:( )
( )
( )
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(
(
)
(
)
)
)
(
(
)
(
( )
)
(
)
(
(
)
)
Ahora podemos determinar la recta tangente:
( )(
(
)
( )
)
Graficamos:
Ejercicio 2. Hallar la derivada…
Las derivadas se pueden determinar como hicimos en el ejercicio anterior
utilizando ladefinición, sin embargo, esa no es la única forma. Podemos usar reglas que
permiten obtener las derivadas de una manera mucho más sencilla. Vamos a ir
explicando las reglas a medida que resolvemos los ejercicios.
a)
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6
( )
En este ejercicio vamos a ver la regla más básica para derivar. Cuando tenemos una
variable elevada a un...
Matemática CBC
2014
Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue
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intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material,
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Ejercicio 1. Hallar, utilizando…
Comenzamos con la unidad de derivadas, al principio probablemente te sientas
perdido, a medida que vayas viendo los ejercicios vas a ver que la lógica de resolución
es similar y si te aprendes todas las reglas de derivación no vas a tener ningún
problema. Te recomiendo que antes de ver la resolución intentes resolver los
ejercicios por tu cuenta.
Elprimer tema que vamos a ver es derivada por definición, no es más que
aplicar una fórmula que nos permite obtener la derivada de una función en un punto. La
formula es la siguiente:
( )
Donde
( )
( )
es la manera de expresar la derivada de la función y
es el punto en el que
queremos obtener la derivada. Vamos a aplicar esto al primer ejercicio de la guía.
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1
Aclaración: Existen otras maneras de determinar la derivada por definición (usando
otras formulas), utilizamos esta porque nos parece que es la más sencilla.
a)
( )
(
)
Aplicamos la derivada por definición (vamos a obtener la derivada en un punto, en este
caso el punto es
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)()
( )
Por la tanto la derivada en el punto
es . Es muy importante tener en cuenta que
la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la función. En este
caso como estamos buscando la derivada de la función en un punto estamos obteniendo
la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
Para que se entienda mejor dejamos un
gráfico. La funcióncurvada (verde) sería
nuestra función original y la función lineal
(azul) es la recta tangente a la función en
el punto .
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2
La recta tangente tiene la siguiente forma:
( )(
Ya obtuvimos
)
( )
( ) utilizando la derivada por definición, nos falta determinar ( ).
( )
( )
Por lo tanto la recta tangente a la función enel punto
⏟( ) (
(
⏟)
es:
( )
⏟
)
Ahora graficamos:
b)
( )
(
)
Derivemos por definición:
( )
( )
(
)
(
( )
( )
(
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)
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(
)
(
)
(
)
(
)(
)
Ya tenemos la pendiente de la recta tangente a la función en el punto
. Ahora
podemos determinar la rectatangente:
( )(
(
)
( )
)
Graficamos:
c)
( )
(
)
Derivemos por definición:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
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( )
( )
(
)
(
( )
)(
(
)
)
Ahora podemos determinar la recta tangente:
( )(
(
)
( )
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Graficamos:
d)
( )
(
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Derivemos por definición:( )
( )
( )
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(
(
)
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)
)
)
(
(
)
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(
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Ahora podemos determinar la recta tangente:
( )(
(
)
( )
)
Graficamos:
Ejercicio 2. Hallar la derivada…
Las derivadas se pueden determinar como hicimos en el ejercicio anterior
utilizando ladefinición, sin embargo, esa no es la única forma. Podemos usar reglas que
permiten obtener las derivadas de una manera mucho más sencilla. Vamos a ir
explicando las reglas a medida que resolvemos los ejercicios.
a)
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( )
En este ejercicio vamos a ver la regla más básica para derivar. Cuando tenemos una
variable elevada a un...
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