Guia Mates
Programa de Bachillerato. Universidad de Chile. Marzo, 2012
1. Demuestre usando inducci´n que ∀n ∈ N, se cumple: o a) 2 + 5 + 8 + ... + (3n− 1) =
n(3n+1) . 2
b) 1 + 2 + 4 + ... + 2n−1 = 2n − 1 c) d)
1 1·3 1 4
+
1 3·5
+
1 43
1 5·7
+ ... +
1 (2n−1)·(2n+1) 1 5
=
n 2n+1 1 (−4)n
−
1 42+
+ ... + (−1)n+1 41 = n
1−
e) Los n´meros de la forma 32n − 1 son divisibles por 8 u f ) Los n´meros de la forma 22n+1 −9n2 +3n−2 son divisibles por 54 u
2.Conjeture f´rmulas para las siguientes expresiones y luego demu´streo e las usando inducci´n. o
2 n
a) (1 + x)(1 + x2 )(1 + x2 ) · · · (1 + x2 ).
1 b) (1 − 1 ) (1 − 3 ) (1 − 1) · · · (1 − 2 4 1 n+1 ) .
3. Pruebe que n(n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · (n + p − 1) es divisible por p, para cualquier valor de n ∈ N. 4. Determine si cada una de lassiguientes sumas son verdaderas o falsas. a)
100 99
(n + 1) =
n=0 i=0
2
i2
1
b)
100 100 100
k3 = (
k=1 k=1
k 2 )(
k=1
k)
c)
100 100
(2 + k) = 2 +k=0 k=1
k
d)
100
2 = 200
k=0
5. Calcule las siguientes sumas.
a)
n k=2
k2 k2 − 1
b)
n k=1
k2
3 + 5k + 6
c)
n k=1
1 (2k − 1)(2k + 1)(2k + 3)6. Demuestre las siguientes igualdades usando las propiedades de las sumatorias.
a)
n
k2k = (n − 1)2n+1 + 2
k=1
b)
n
krk−1 =
k=1
1 [1 − (n + 1)rn + nrn+1 ],r = 1 (1 − r)2
c)
2n+1
(−1)k−1 k 2 = (n + 1)(2n + 1)
k=1
d)
n k=1
2k 1 =1− 1 + k2 + k4 1 + n + n2
2
7. Calcule el valor de las siguientes sumas. a)
n k7i
k=0 i=0
b)
n k
7k
k=0 i=0
c)
n k
7n
k=0 i=0
d)
n n
(k + 2i)
k=1 i=2
e)
n n
k=1 j=2
2j 3k
f)
n 7
(2i2 k − 20)
k=1 i=1
3
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