Guia Numeros Reales FMM 007 2012 10

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas
Facultad de Cs. de la Salud
FMM 007 - Matem´
aticas Avanzadas

GUIA NUMEROS REALES

1. Demuestre que si a, b > 0, entonces
a b
+ ≥2
b a
2. Resolver las siguientes inecuaciones
(a) x + 3 < 2x − 4
x−5 9−x
+
>x
(b)
2
3
(c) (x − 2)(x + 3) > x(x − 1)
1
(d)
≤1
x
x+1
(e)
<2
x−4
4
3
(f)
−
>1
x+1 x+2

(g) −1 <

3x + 4
<1
x−7

(h)

2 2−x
−
≤1
x x−1(i)

x2 − 4x + 3
≤ −1
x2 − 6x + 8

(j)

x2 − 3x + 2
<3
x2 + 2x + 6

3. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
(a) |x + 1| ≤ |2 + 3x|
|x|
(b)
≥0
x+2
2+x
(c) 2 <
<3
x−1
(d) |x − 1| = 2
(e) |x + 1| + |x − 1| = 0

100
+ 1 d´olares por
q
unidad. ¿Cu´
al es el n´
umero m´ınimo de unidades que debe ser vendido para que el ingreso por ventas
sea mayor que 5000?. Ind: Ingreso=Precio·Cantidad.

4. Suponga que los consumidores comprar´an q unidades de un producto al precio de

5. En sicolog´ıa el CI de una persona se encuentra al dividir la edad mental por la edad cronol´
ogica y
luego esta relaci´
on se multiplica por 100. En t´erminos de f´ormula esto se reduce a
CI =

EM · 100
EC

Si el intervalo de variaci´
on de CI de un grupo de alumnos de la UNAB de 20 a˜
nos deedad es
70 ≤ CI ≤ 120 . Determinar el intervalo de variaci´on de la edad mental del grupo.
6. El administrador de un centro m´edico estima que si se emplean x m´aquinas radiol´ogicas, el costo de
mantenci´on y energ´ıa (en millones de pesos) en un mes ser´a de
C =x+

6
x

¿Cu´antas m´aquinas se deben utilizar para que el costo sea a lo m´as de 5 millones?
7. Un determinado f´
armaco que se usapara controlar la temperatura se inyecta v´ıa intramuscular. Su
74x
. ¿ Qu´e cantidad de dosis se
efecto (en horas) es dado en funci´
on de x (mg de dosis) por E =
8x + 3
debe inyectar para que el f´
armaco tenga efecto m´as de 4 horas y menos de 8 horas?
5
8. Use la relaci´
on C = (F − 32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a
9
20 ≤ C ≤ 30 .
9. ¿A qu´e rango detemperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50 ≤ F ≤ 95 ?
10. Un n´
umero entero positivo excede a otro en 5 unidades y su suma no supera a 29.¿Cu´ales son los
n´
umeros enteros positivos que verifiquen esta condici´on?
11. La sexta parte de un n´
umero m´
as la novena parte del mismo, tienen una suma mayor o igual a 15.¿Cu´
al
es el n´
umero m´
as peque˜
no que verifica estarelaci´on?
12. Sean a, b ∈ R+ , tales que a > b. Determine si la siguiente aseveraci´on es verdadera o falsa. Justifique
claramente su respuesta.
a3 b − ab3
<0
b−a
13. Resuelva las siguientes inecuaciones:
(a)
(b)

x−3
≥5
2
x+2
5
x
−
<
2
x+3
2

14. Diversos estudios han determinado que en condiciones normales la sensaci´on t´ermica de un individuo
est´a relacionada con la altura a la cual ´este se encuentramediante:
T = 20 1 −

h
40

En que T (sensaci´
on t´ermica) expresada en o C y h la altura en metros.
(a) ¿A partir de qu´e temperatura el individuo comienza a sentir temperaturas bajo cero?
(b) ¿Cu´al ser´
a el ser´
a el rango de la altitud si se sabe que las temperaturas oscilan entre los -10 o C
y 10 o C, inclusive?
15. Determine la veracidad o falsedad ( V o F ), de las siguientesaseveraciones, justificando claramente o
dando un contraejemplo.
(a) ∃x ∈ R para el cual |x − 1| = |x − 2|
1
(b) x + > 0, ∀x ∈ R
x
1
1
1
<
(c) Si |x − 3| < 1 ⇒ <
8
x+4
6
16. Encuentre el conjunto soluci´
on para:
4
3
>1+
x+1
x+2
17. Al realizar un estudio en un sector minero se encontr´o un gran porcentaje de personas con niveles
elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud p´
ublica decidi´ocomenzar un tratamiento con
un costoso medicamento a las personas que tengan un 6% de sangre contaminada. El porcentaje que
describe la cantidad del plomo en la sangre como efecto de x gramos del medicamento, viene dado por
la relaci´on
x2 + 5x + 6
P = 2
, con P expresado en %
x +x+1
¿Al menos cu´
antos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %?
18. (a) En un tri´...