Guia Practica EDO 1er Orden

Universidad de Oriente. Núcleo de Monagas
Departamento de ciencias. Sección de matemáticas
Matemáticas IV. Código: 008-2824
GUIA PRÁCTICA DE EDO 1ER ORDEN
Ejercicio #1: Identificar variables dependientes e independientes, orden, linealidad y grado de las
siguientes ecuaciones diferenciales:
Ejemplos:
La potencia es distinta de 1 por lo tanto no es lineal
ௗ௬

•

ௗ௫

= ‫ݕݔ‬

ଵൗ
ଶ

Además no tieneforma polinómica porque una potencia es fracción

Observemos que la variable dependiente es’y’, y ‘x’
la independiente. Además la mayor derivada es 1

Variables dependientes: y
Variables independientes: x
Orden: 1
Lineal: No
Grado: No tiene
No es lineal ya que términos dep. se
encuentran dentro de potencias

(‫ݕ‬′′′)ଷ + ‫ ݕ‬ᇱ − ‫ ݕݔ‬ହ = 0

•

Grado es 3

La mayor derivada es 3, la variabledependiente es ‘y’ ya que carga las derivadas.

Variables dependientes: y
Variables independientes: x
Orden: 3
Lineal: No
Grado: 3
a) ‫ ݕ‬ᇱᇱᇱ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ᇱᇱ − ‫݊݁ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ cosሺ‫ݔ‬ሻ ‫଼ ݔ = ݕ‬
b)
c)

ௗమ ௬
ௗ௫ మ
ௗ௬

+ ‫)ݔ(݃ݐ = ݕݔ‬

= 3‫ ݖ‬ସ cos (1 + ‫)ݖ‬

ௗ௭
(ூ௏)

d) ‫ݕ‬
+ ‫ ݔ‬ଶ ‫( ݕ‬௏) − 3‫ ݁ = ݕݔ‬௫
ଶ ᇱᇱᇱ
e) ‫ ݕ ݐ‬− 3‫ ݕݐ‬ᇱ + 4‫ = ݕ‬0
f)

ௗమ ఏ
ௗ௧ మ

+ ௅ ‫݊݁ݏ‬ሺߠሻ = 0
௚

_________________________
Prof.Antonio J. Sabino

Pasos para resolución del
ejercicio:
1) Identificar las variables
dependientes e independientes.
2)
Identifique
el
orden
encontrando la mayor derivada
de la dependiente.
3) Verifique si las variables
dependientes no se encuentren en
un mismo término, dentro de
potencias
o
funciones
elementales para determinar si es
lineal.
4) Verifique si las potencias de
los términos dependientesson
enteros y si estos se encuentran
en términos distintos para
encontrar el grado que se
encuentra en la mayor derivada.

Ejercicio #2: Verifique si las funciones planteadas son soluciones de la ecuación diferencial:
Ejemplos:
Observamos que el orden de la ecuación es 2, entonces
calculamos la segunda derivada de la función

•

‫ ݕ‬ᇱᇱ + ‫ ݕ‬ᇱ + 4‫ = ݕ‬10݁ ଶ௫ ; ‫ ݁ = ݕ‬ଶ௫
Sustituimos las derivadasde la
función en la variable dependiente.

‫ ݕ‬ᇱ = ሺ݁ ଶ௫ ሻᇱ = 2݁ ଶ௫
‫ ݕ‬ᇱᇱ = ሺ2݁ ଶ௫ ሻᇱ = 4݁ ଶ௫
‫ ݕ‬ᇱᇱ + ‫ ݕ‬ᇱ + 4‫ = ݕ‬4݁ ଶ௫ + 2݁ ଶ௫ + 4݁ ଶ௫ = 10݁ ଶ௫
Si es solución.
•

‫ ݕ‬ᇱᇱᇱ − ‫ ݕ‬ᇱ + ‫)ݔ(݊݁ݏ݇ = ݕ ; )ݔ(ݏ݋ܿ݇ = ݕ‬
El orden es 3.

Pasos para resolución del
ejercicio:
1) Identificar el orden de la
ecuación diferencial
2)Derivar la función propuesta
hasta llegar al orden de la
ecuación.3)Sustituir las derivadas y la
función
en
la
variable
dependiente del lado izquierdo
para verificar si llegamos al
miembro derecho de la ecuación
diferencial y así concluir si es
solución o no.

‫ ݕ‬ᇱ = ሺ݇‫)ݔ(݊݁ݏ‬ሻᇱ = ݇ܿ‫)ݔ(ݏ݋‬
‫ ݕ‬ᇱᇱ = ሺ݇ܿ‫)ݔ(ݏ݋‬ሻᇱ = −݇‫)ݔ(݊݁ݏ‬
‫ ݕ‬ᇱᇱᇱ = ሺ−݇‫)ݔ(݊݁ݏ‬ሻᇱ = −݇ܿ‫)ݔ(ݏ݋‬
‫ ݕ‬ᇱᇱᇱ − ‫ ݕ‬ᇱ + ‫ = ݕ‬−݇ܿ‫ݏ݋‬ሺ‫ݔ‬ሻ − ൫݇ܿ‫ݏ݋‬ሺ‫ݔ‬ሻ൯ + ݇‫݊݁ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = −2݇ܿ‫ݏ݋‬ሺ‫ݔ‬ሻ + ݇‫≠ )ݔ(݊݁ݏ‬
݇‫ )ݔ(݊݁ݏ‬Noes solucion.
a) ‫ ݕ‬ᇱᇱ (1 − ‫ )ݔ‬+ ‫ ݕݔ‬ᇱ − ‫ = ݕ‬0 ; ‫ = ݕ‬3݁ ௫ ; ‫ = ݕ‬4‫ݔ‬
b) ‫ ݕ‬ᇱᇱᇱᇱ + 4‫ ݕ‬ᇱᇱᇱ + 3‫ݔ = ݕ ; ݔ = ݕ‬ൗ3 ; ‫ି ݁ = ݕ‬ଷ௫
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)

+ 4‫ = ݕ‬0; ‫ܿ = ݕ‬ଵ ‫(݊݁ݏ‬2‫ܿ = ݕ ;)ݔ‬ଵ cos (2‫)ݔ‬
1 + ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬ᇱ = 0; ‫ ݔ‬+ ‫ି݊ܽݐ = ݕ‬ଵ (‫)ݕ‬
‫ ݕݕ‬ᇱ = ݁ ଶ௫ ; ‫ ݕ‬ଶ = ݁ ଶ௫ + ܿ
‫ ݕݔ‬− ሺ‫ ݔ‬ଶ + 1ሻ‫ ݕ‬ᇱ = 2‫ = ݕ ;ݔ‬2 + √‫ ݔ‬ଶ + 1
‫ ݕݕ‬ᇱ = ‫ ݔ‬− 2‫ ݔ‬ଷ ; ‫√ݔ = ݕ‬1 − ‫ ݔ‬ଶ
‫ ݕ‬ᇱ= ݁ ௫ି௬ ; ‫ = ݕ‬ln (݁ ௫ + ‫)ܥ‬
ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ݀‫ ݔ‬− 2‫ = ݕ݀ݕݔ‬0; ‫ ݔ√ = ݕ‬ଶ − ‫ݔ‬
‫ ݕݔ‬ᇱ + 1 = ݁ ௬ ; ݁ ି௬ − ܿ‫ = ݔ‬1
ௗమ ௬
ௗ௫ మ

_________________________
Prof. Antonio J. Sabino

Ejercicio #3: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables:
Ejemplo:
•

Debemos colocar la derivada de y en forma diferencial
para asi separar las variables x e y.

4‫ ݕݕ‬ᇱ + ‫ = ݔ‬0

݀‫ݕ‬
+‫= ݔ‬0
݀‫ݔ‬ௗ௬
4‫ = ݕ‬−‫ ⇒ ݔ‬4‫ = ݕ݀ݕ‬−‫ݔ݀ݔ‬
ௗ௫
‫ ׬‬4‫ ׬ = ݕ݀ݕ‬−‫ ⇒ ݔ݀ݔ‬4 ‫ = ݕ݀ݕ ׬‬− ‫ݔ݀ݔ ׬‬
4‫ ݕݕ‬ᇱ + ‫ = ݔ‬0 ⇒ 4‫ݕ‬

4

௬మ

ଶ
ଶ

=−

‫= ݕ‬−

௫మ
ଶ

௫మ
ସ

+ ‫ ⇒ ܥ‬2‫ ݕ‬ଶ = −

+ ‫ܥ‬ଵ (‫ܥ‬ଵ = ‫ܥ‬/2)

௫మ
ଶ

+‫ܥ‬

a) ሺ2‫ ݔ‬+ ‫ݕݔ‬ሻ ௗ௫ = 1 + ௫ + ௫మ
ௗ௬

b)

௬మ
௫

ସ

ସ

‫ݕ‬ᇱ = 1 + ‫ݔ‬ଶ

c) lnሺ‫ ݕ‬௫ ሻ ௗ௫ = 3‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬
ௗ௬

d) ‫ ݕ‬ᇱ = ଶ௬ା௫మ ௬
ସ௫ା௫௬ మ

e)
f)
g)
h)
i)
j)

ሺ‫ ݕ‬ଶ − 2ሻ݀‫ ݔ‬+ ሺ2‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݔ‬− 3ሻ݀‫ = ݕ‬0...