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Guía Matemática
PRODUCTOS NOTABLES
´ Melgarejo
profesor: Nicolas

.cl

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1.

Introducci´
on

Es usual en matem´
atica intentar simplificar todas las expresiones y definiciones,
utilizando el m´ınimo de elementos o s´ımbolos posibles. Es as´ı como por ejemplo
nacen las notaciones de multiplicaci´
on para la suma reiterada y las potencias para
la multiplicaci´onreiterada. En la multiplicaci´on de polinomios tambi´en es u
´til reconocer ciertos resultados t´ıpicos que nos ayudan a simplificar y agrupar t´erminos.

2.

Multiplicaci´
on

En la gu´ıa de Operaciones algebraicas hemos hecho referencia b´asica a la multiplicaci´on en ´algebra. En
esta oportunidad separaremos esta operaci´
on en tres casos: multiplicaci´on de monomios, multiplicaci´
on
de polinomiopor monomio y multiplicaci´
on de dos polinomios.

2.1.

Monomio × Monomio

Primero multiplicamos los coeficientes y a continuaci´on se escribe el producto de los factores literales,
preferentemente en orden alfab´etico, colocando a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes
de cada potencia de la misma base. Los signos vienen dados por la regla de los signos vista anteriormente.✎ Ejemplo
1. Hallar el producto de 3a3 y 4a4
Soluci´
on:
3a3 · 4a4 = (3 · 4) · (a3 · a4 )
= 12 · a3+4
= 12a7
2. Multiplicar −xy 2 con −4mx2 y 3
Soluci´
on:
−xy 2 · −4mx2 y 3 = (−1 · −4) · (xy 2 · mx2 y 3 )
= 4 · (mx1+2 y 2+3 )
= 4mx3 y 5
1
3. El resultado de 3am × am+1 es:
4
Soluci´
on:
1
3am × am+1 =
4

3·

1
4

· am · am+1

3 m+m+1
·a
4
3
= a2m+1
4
=

2

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Recordar que cuando labase no tiene exponente es
porque est´
a elevado a 1, entonces:
ax · a = ax+1

✍ Ejercicios

1

Desarrolla las siguientes multiplicaciones
1. 2x × −5xy

4. xyz × zw

7. a × (−5a) × a3

2. −3a2 × −5ab2 c

5. −xa × −xa−2

8. (2x2 )(−xy)(−a2 y)

3. m2 n3 × 3m2 n

6. 5an bx × −abx+n

9.

2.2.

1 2
m
2

2
− n
3

3
mnx
2

Monomio × Polinomio
☞¡Mira!

Si tenemos la siguiente situaci´
on a(b + c) lo quedebemos hacer es aplicar la distributividad, esto
se traduce en multiplicar el monomio por cada t´ermino del polinomio teniendo en cuenta todo lo visto en
los puntos anteriores. Entonces la situaci´
on anterior quedar´ıa:
a(b + c) = ab + ac

✎ Ejemplo
1. Multiplicar a3 − 4a2 + 6a por −ab
Soluci´
on: Denemos resolver (a3 − 4a2 + 6a) · (−ab)
(a3 − 4a2 + 6a) · (−ab) = (−ab) · (a3 ) + (−ab) · (−4a2 ) +(−ab) · (6a)
= −a1+3 b + 4a1+2 b − 6a1+1 b
= −a4 b + 4a3 b − 6a2 b
2. Hallar el resultado multiplicar −ab2 con 3am − bn + c3
Soluci´
on:
(−ab2 ) · (3am − bn + c3 ) = (−ab2 )(3am ) + (−ab2 )(−bn ) + (−ab2 )(c3 )
= (−1)(3)a1+m b2 + (−1)(−1)ab2+n + (−1)(+1)ab2 c3
= −3am+1 b2 + abn+2 − ab2 c3

Desaf´ıo 1
¿Cu´
al es el multiplicando que falta para que la siguiente expresi´on sea verdadera?
Respuesta
3a2b−2 × ? = 1

3

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2.3.

Polinomio × Polinomio

Para realizar esta operaci´
on se multiplican todos los t´erminos del multiplicando por cada uno de los
t´erminos del multiplicador. Debemos considerar las indicaciones y recomendaciones de los otros puntos
anteriores. En el caso m´
as simple, si queremos entontrar el producto de a − b + c con d + e , debemos
multiplicar cada t´ermino delprimer factor, por cada t´ermino del segundo factor:
(a − b + c)(d + e) = (a − b + c)d + (a − b + c)e
= ad − bd + cd + ae − be + ce
Como la multiplicaci´
on es conmutativa en este contexto, llegamos al mismo resultado si hacemos lo
siguiente:
(a − b + c)(d + e) = a(d + e) − b(d + e) + c(d + e)
= ad + ae − bd − be + cd + ce
= ad − bd + cd + ae − be + ce

✎ Ejemplo
Multiplicar 5x − 3y por −5y + 2x.Soluci´
on:
(5x − 3y)(−5y + 2x) = 5x(−5y) + 5x(2x) − 3y(−5y) − 3y(2x)
= −25xy + 10x2 + 15y 2 − 6xy
= 10x2 + 15y 2 − 31xy

Notar que en ejemplo y el caso presentado anteriormente hay dos maneras diferentes de abordar la
misma situaci´on.

✍ Ejercicios

2

Escribe el producto de cada multiplicaci´on aplicando simplificaci´on de t´erminos semejantes
1. 3x2 − x por −2x

8. −m + 6 por 4 − m

2....