Guia Sara Sayago

CAP´ITULO XVI.
´
NUMEROS
COMPLEJOS

SECCIONES
A. Definici´on. Primeras propiedades.
B. Potencia y ra´ız de n´
umeros complejos.
C. Ejercicios propuestos.

273

´
A. DEFINICION.
PRIMERAS PROPIEDADES.

Un n´
umero complejo es un par ordenado de n´
umeros reales. El conjunto de
los n´
umero complejos es pues
C = {(a, b) : a, b ∈ R} = R × R.

Si z = (a, b) ∈ C, se llama parte real de z a la primeracomponente a = Re z
y se llama parte imaginaria de z a la segunda componente b = Im z .
Observaci´
on 1. Los n´
umeros complejos surgen como necesidad de resolver
ecuaciones que involucren ra´ıces de n´
umeros negativos. As´ı, por ejemplo, la
ecuaci´on x2 + 1 = 0 no tiene soluci´on en el sistema de n´
umeros reales; por
eso, originalmente se represent´o una de sus ra´ıces con la letra i (deimaginario). En este nuevo conjunto se podr´a verificar el teorema fundamental del
Algebra mediante el cual todo polinomio con coeficientes complejos tiene
exactamente tantas ra´ıces como indica su grado.
Observaci´
on 2. De la definici´on se observa que C puede representarse como
el conjunto de puntos del plano: su primera coordenada corresponde a la
parte real y su segunda coordenada a la parteimaginaria. El punto cuyas
coordenadas son las componentes de un n´
umero complejo se llama afijo del
n´
umero. Llamamos eje real al eje de abscisas y eje imaginario al eje de
ordenadas.

El conjunto C tiene estructura de cuerpo con las operaciones
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc),
siendo (0, 0) el neutro para la suma y (1, 0) el elemento unidad. El opuesto
a
−b
1de z = (a, b) es −z = (−a, −b) y el inverso, z −1 = =
,
,
z
a2 + b2 a2 + b2
si z = 0.
274

Se puede considerar a los n´
umeros reales como subconjunto de los complejos haciendo la identificaci´on a = (a, 0), ∀a ∈ R, pues de este modo las
operaciones anteriores coinciden con la suma y producto de n´
umeros reales.
As´ı pues, a los n´
umeros complejos de la forma a = (a, 0) los llamaremos
reales yun n´
umero complejo es imaginario si no es real.
Se llama unidad imaginaria al n´
umero i = (0, 1) y un n´
umero complejo z es
imaginario puro si z = (0, b) = b · i, b ∈ R.
Observaci´
on 3. As´ı definida, la unidad imaginaria verifica la ecuaci´on x2 +
1 = 0. En general, debido a que i4 = 1, todas las potencias de i se reducen
a cuatro:
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i.
Debido a la descomposici´on(a, b) = (a, 0) + (0, b), todo n´
umero complejo se
puede escribir en forma bin´omica como (a, b) = a + ib.
Se define conjugado de z = (a, b) al n´
umero z = (a, −b). De la definici´on
se observa que los afijos de dos complejos conjugados son puntos sim´etricos
respecto al eje real. Podemos destacar las siguientes propiedades:
1) z = z, ∀z ∈ C.
2) z = z ⇐⇒ z ∈ R.
3) z1 + z2 = z1 + z2 , z1 · z2 =z1 · z2 , ∀z1 , z2 ∈ C.
4) −z = − z, z −1 = z −1 , ∀z ∈ C.
5) z + z = 2 Re z; z − z = 2i Im z, ∀z ∈ C.
Llamamos m´odulo de un n´
umero complejo z = (a, b) a la longitud r = |z| =
√
a2 + b2 . Se verifican las siguientes propiedades:
6) z = 0 ⇐⇒ |z| = 0.
7) |z|2 = z · z, ∀z ∈ C.
8) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, ∀z1 , z2 ∈ C.
9) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, ∀z1 , z2 ∈ C.
Se llama argumento de un n´umero complejo z = (a, b) al n´
umero ϕ = arg z =
arc tg b/a y gr´aficamente representa el ´angulo que forma el segmento OP con
la parte positiva del eje real medido en la direcci´on contraria al movimiento
de las agujas del reloj. A veces se considera el argumento como alguno de
los valores ϕ + 2kπ, con k ∈ Z, con lo que llamaremos argumento principal
de z, Arg z, al que verifica 0 ≤ Arg z < 2π. Lassiguientes propiedades son
f´aciles de verificar:
10) arg(αz) = arg z si α > 0; arg(αz) = π + arg z si α < 0.
275

11) arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 , ∀z1 , z2 ∈ C.
12) arg z = − arg z, ∀z ∈ C; arg(1/z) = − arg z, , ∀z = 0.
Dado un n´
umero complejo z = (a, b), los valores r = |z|, ϕ = arg z constituyen las llamadas coordenadas polares de z. De la relaci´on entre las coordenadas cartesianas y...