GUIA Semejanza

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Guía Matemática
SEMEJANZA
tutora: Jacky Moreno

.cl

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1.

Semejanza

En el lenguaje que manejamos en nuestro diario vivir utilizamos la palabra semejanza para referirnos
a que dos cosas comparten algunas caracter´ısticas en com´
un o que son parecidas entre s´ı, por ejemplo
al decir “Eres semejante a tu pap´
a” estamos haciendo referencia a que las dos personascomparten los
mismos rasgos faciales, el mismo color de piel o la misma actitud o gestos.
La semejanza en matem´
atica hace referencia a la igualdad de forma entre dos figuras pero no necesariamente al mismo tama˜
no, es decir puede una figura ser la ampliaci´on o reducci´on de la otra.
As´ı, dos figuras planas seran semejantes si sus ´angulos correspondientes son congruentes y sus ladoscorrespondientes son proporcionales, es decir, la raz´on entre los lados hom´ologos es constante. De acuerdo
a lo anterior, si tenemos que los cuadril´
ateros ABCD y EF GH son semejantes, se simboliza con ∼ de la
siguiente forma ABCD ∼ EF GH y cumplen lo siguiente:

Los ´angulos hom´
ologos son congruentes, es decir, tienen la misma medida o abertura:
DAB ∼
= HEF
ABC ∼
= EF G
BCD ∼
= F GH

(1)

CDA ∼
= GHELos lados hom´
ologos son proporcionales, es decir, la raz´on entre ellos es la misma:
AB es hom´ologo con EF
BC es hom´ologo con F G
CD es hom´ologo con GH
DA es hom´ologo con HE
AB
BC
CD
DA
=
=
=
=k
EF
FG
GH
HE

Desaf´ıo 1
¿Que sucede si la constante de proporcionalidad entre los lados hom´ologos de dos
figuras corresponde a la unidad?
Respuesta

2

(2)

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2.

Semejanza de tri´angulos

Como vimos anteriormente, la semejanza esta en directa relacion con las proporciones, de esta manera, dos tri´angulos son semejantes si existe una correspondencia entre sus elementos de tal forma que les
permitan tener la misma forma y distinto tama˜
no.

Dos tri´
angulos son semejantes si los ´angulos del
primero son congruentes uno a uno con los ´angulos
del segundo.

En general,

ABC ∼DEF se cumple que:

Los ´angulos correspondientes tienen la misma medida:
α∼
=α
β∼
=β

(3)

γ∼
=γ
Los lados correspondientes son proporcionales:
a
b
c
= = = constante
d
e
f

2.1.

Criterios de semejanza de tri´
angulos

Al igual que con la congruencia de tri´
angulos, podemos establecer ciertos criterios que nos faciliten la
comprobaci´on de que dos tri´
angulos son semejantes sin la necesidad dedemostrar las 6 condiciones antes
vistas.
2.1.1.

Criterio ´
angulo-´
angulo

El criterio ´angulo-´
angulo abreviado como A-A, nos dice que si dos ´angulos del primer tri´angulos son
congruentes a otros dos ´
angulos del segundo tri´angulo, entonces los tri´angulos son semejantes. Esto se
puede verificar f´
acilmente a trav´es de la propiedad de que los ´angulos interiores de un tri´angulo debensumar 180° y que por ende los ´
angulos desconocidos en ambos tri´angulos miden lo mismo.

3

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CAB ∼
= F DE
ABC ∼
= DEF
∴

ABC ∼

DEF

Dos tri´
angulos son semejantes si tienen dos ´angulos
respectivamente congruentes.

2.1.2.

Criterio lado-lado-lado

El criterio lado-lado-lado abreviado como L-L-L, nos dice que si tres lados del primer tri´angulo est´
an
en proporci´on con otros3 lados del segundo tri´angulo, entonces los tri´angulos son semejantes.

AB : DE = 1 : 2
BC : EF = 1 : 2
CA : F D = 1 : 2
∴

ABC ∼

DEF

Dos tri´
angulos son semejantes si tienen todos sus
lados correspondientes en igual proporci´on.

4

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2.1.3.

Criterio lado-´
angulo-lado

El criterio lado-´
angulo-lado abreviado como L-A-L, nos dice que si dos lados del primer tri´
angulo
sonproporcionales a otros dos lados del segundo tri´angulo y los ´angulos que est´an entre estos lados son
congruentes entre s´ı, entonces los tri´
angulos son semejantes.

AC : DF = 1 : 3
CB : F E = 1 : 3
ACB ∼
= DF E
∴

ABC ∼

DEF

Dos tri´
angulos son semejantes si poseen dos de sus
lados correspondientes en igual proporci´on y los
angulos comprendidos por dichos lados son
´
congruentes.

✍...