Guia series de potencia

1.) El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales consiste en utilizar series de potencia como solución de la ecuación diferencial para obtener una solución con funcionesque no son elementales.
Ejemplo

Solución

Supongamos que

es una solución de la ecuación diferencial. Entonces

y
Sustituyendo en la ecuación diferencial

Ajustando los índicesIgualando los coeficientes

para.
De esta forma los coeficientes de la serie solución están dados por:
* Coeficientes pares:

* Coeficientes impares:

De esta forma la seriesolución se puede representar como la suma de dos series, una para las potencias pares con coeficientes en términos de y otra para las potencias impares con coeficientes en términos de

2.) Una ecuacióndiferencial tiene soluciones representables mediante series de potencia cuando las series son infinitas y son linealmente independientes, la ecuación diferencial debe tener coeficientes variables.3.) Ver Anexos

4.)

5.) En matemáticas al resolver la fórmula de Rodrigues, las Funciones de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre:

Los polinomios deLegendre se obtienen desarrollando la fórmula de Rodrigues obtienendo la siguiente expresión:

6.) Ver anexos
7.) Funciones de Bessel de primera especie: Jα
Las funciones de Bessel de primera especie yorden α son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para enteros no negativos α y divergen en el límite para α negativo no entero. El tipo de solucióny la normalización de Jα(x) están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Para las soluciones de orden entero es posible definir la función Jα(x) por su expansión en serie de Taylor en torno ax = 0

Γ(z) es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos. Para α no enteros, se necesitan expansiones en series de potencias más generales.
Estas...