Guia Series FMM 133

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
COORD. ALEJANDRO LOPEZ

GUÍA DE EJERCICIOS: SERIES

I. Determine si las series son convergentes o divergentes. En caso de convergencia, calcula la
suma.

8 16 32
+
+
+ ...
5 25 125

a).-

4+

c).-

2 2 2
− +
+ ...
3 9 81
∞

 3
2 
∑
n =1  4 

e).-

∞

e
5 
∑
n =1  3 

g).-

b).-

1−

d).-

−

n −1

n

k).-

∑3

−n

8

l).-

∑ (3n −2)(3n + 1)

∞

n).-

n2
∑
n =1 3(n + 1)(n + 2 )

p).-

∑  2

∞

1

n =1

∑ [2(0.1)
∞

n

+ (0.2 )

n

]

∞

r).-

n −1

1

+

∑  n + 2

n

n =1
∞

n
2

t).-

1
∑
n =1 (n + 2 )

∑ 4n
n =1

∞

u).-

 1

n =1

n =1

1+ n

32n
2 3n +1

∞

o).-

n =1

∑ (− 1)

n −1

n =1

1
∑
n =1 2 n

∑

4 n +1
∑
n
n =0 5
∞

n +1

∞

∞

2n

∞

j).-

m).-

s).-

n −1

1

∑e
n =1

n =1

q).-

 3
− 
∑
π
n =1 ∞

h).-

5n
∑
n
n =0 8
∞

81
9
10
+
−1+
− ...
1000 10
9

∞

f).-

∞

i).-

1 1 1
+ − + ...
2 4 8

∞

v).-

2 

3 
n −1





1
2



−1
n



∑ In  2n + 5 
n =1

∞

3n + 2 n
∑
6n
n =1
∞

w).-

∞



n =1

 1 

1

∞

∑ sen n  − sen n + 1 

y).-

n =1



∞

∑ arctan n

ab).-

n =1
∞

ac).-

∑ In
n =1
∞

ae).-

−n

1

∑ n(n + 1)(n + 2)
n =1
∞

n
n +1

ad).-

∑ In
n=2
∞

n

∑(n + 1)(n + 4)

af).-

n =1

ae)

2

1

n =1

∞

aa).-

2

∑5+2

z).-



2n + 1

∑ n (n + 1)

x).-

n2 −1
n2

3n + n 2 + n

∑ n(n + 1) ⋅ 3
n=2

0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

ae)

n +1

0,23232323....

II. Demuestre que la serie:
∞

1

∑ n(ln n ) p
n= 2

Converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1
∞

III. Utilizando la igualdad

1
1− x

= ∑ x n , donde x < 1 , exprese cada una de las siguientes funciones
n=0

como una serie de potencias centrada en x0 = 0 , o una combinación lineal entre ellas. Determine el
intervalo de convergencia en que es válido este desarrollo.
a) f ( x) =

5
4 x−2

b) f ( x) =

1
1+ x

d) f ( x) =

1
2+ 3 x + x 2

e) f ( x) =

2 x −4
x 2 − 4 x +3

c) f ( x) =

1
(1+ x ) 2

IV. Determine la convergencia o divergencia de las siguientes series, utilice preferentemente el
criteriode comparación.
2

3

2 1 2 1 2
+   +   +. .
5 2 5 3 5
∞
n
c) ∑ 2
n =1 n + 2 n + 3
∞
1
a)

e)

∑k
k =1

b)
d)

1 1 1 1
+ + + +...
2 4 6 8
∞
1

∑ (3k − 1)
k =1

2

k +1

V. Use el criterio de la integral para verificar la convergencia de las siguientes series.
∞

1
a) ∑ 2
n =1 n + 1
∞
n2
c) ∑ n
n =1 e
∞
1 

e) ∑ ln1 + 2 
 n 
n =1

∞

b)

1

∑2
n =1
∞

d)
f)

ln n

∑n
n =1
∞

.n

∑n
n =2

2

1
ln n

.

VI. Determinar la convergencia o divergencia usando el criterio de la raíz.
∞

n + 2
a) ∑ 

n =1  2 n 

n

∞

∞

 n 
c) ∑ 

n =1  3n + 2 

1
b) ∑
n
n =2 (ln n )

n

VII. Use el criterio de la razón para establecer la convergencia o divergencia de las series dadas.
∞

a)

4n + n
∑
n!
n =1
∞

nn
∑
n =1 (2n )!

b)

∞

c)

3n + 1
2n
n =1

∑

VIII. Investigar laconvergencia de las siguientes series de términos positivos.

1 1
a) 1 +
+ +...
2! 3!
∞
n!
c) ∑ n
n =1 2 + 1
∞

e)

1

∑ n ln n ln(ln )
n =2

n

 2n + 1  2
b) ∑ 

n =1  3n + 1 
∞
1
d) ∑ sen 2
n
n =1
∞

IX. Investigar la convergencia de las siguientes series alternadas. Si son convergentes comprobar si
lo son absoluta o condicionalmente.
∞

a)

(− 1)n−1

∞

∑ 2n − 1

b)

n =1

∞

 − 3
d) ∑ 
n =1  4 

∑
n =1

n

∞

e)

(− 1)n−1
n

∞

c)

2

∑ (− 1)

n +1

n =1

∑ (− 1)
n =1

∞

n2
en

f)

∑ (− 1)
n =1

n

ln n
10n + 1

n +1

n
10n + 1

X. Encuentre el radio y el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.
∞

∞

n+ 2

b)

x
 
∑
n =0  3 

(−1) n+1 (5 x − 3) n
c) ∑
n!
n =0

d)

∑ ( 4 x − 2)

(−1)(1 − 2n) 2 n+1
∑
(2n + 1)!
n =0

f)

a)

∑ n!⋅( x + 3)

n

n =0∞

∞

n =0

∞

e)

∞

∑

h)

j)

n =1

 x2 +1

k) ∑ 
5 
n =0 
m) 1 −

n

(3 x − 2) (3 x − 2)
+
− .........
1!
2!

∑ ( 3x ) n+2

∞

(−1) n ( x − 2) n
∑
n ⋅10 n
n =1

n)

∑ n!⋅( x + 3)

∞

∞

p)

n =0

∑

( −1) n +1 ( 5 x −3 ) n
n!

n =0

∞

∑ ( 4 x − 2) 2 n

n

n =0

n =0

q)

(−1) n 10 n ( x − 10) n
∑
n!
n =1

l)

∞

o)

n 3 ( x + 1 )n
∑
3n
n =1
∞

n!⋅ x n

∞

2+ n

∞

(2 x − 1) n...