Guia Sistemas De Dos Ecuacuiones Con Dos Incognitas

Unidad I: Sistemas de dos
Ecuaciones con dos incógnitas
Algebra Lineal

Ing. Marglorie Colina

Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Así,

2𝑥 + 3𝑦 = 13
4𝑥 − 𝑦 = 5
Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. La solución de un
sistema de ecuaciones es un grupo devalores de las incógnitas que satisface todas las
ecuaciones del sistema. La solución del sistema anterior es x=2, y=3.
Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o
incompatible cuando no tiene solución.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado
cuando tiene infinitas soluciones.
Para resolver un sistema de estaclase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas
una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama Eliminación.

Métodos de Eliminación mas Usuales
Son tres: Método de igualación, de sustitución y de reducción, también llamado este ultimo
de suma o resta.

1. Método de igualación
Resolver el sistema

7𝑥
5𝑥

+ 4𝑦 = 13
− 2𝑦 = 19

(1)
(2)

Despejamos cualquiera de las incógnitas; porejemplo x, en ambas ecuaciones.

Despejando x en (1):
13−4𝑦
7𝑥 = 13 − 4𝑦 ⇒ 𝑥 =
7

Despejando x en (2):
19+2𝑦
5𝑥 = 19 + 2𝑦 ⇒ 𝑥 =
5

Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido.
13 − 4𝑦
19 + 2𝑦
=
7
5
Ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolviendo esta
ecuación:
5 13 − 4𝑦 = 7 19 + 2𝑦
65 − 20𝑦 = 133 + 14𝑦
−20𝑦 − 14𝑦 = 133 − 65
−34𝑦 = 68
𝑦 = −2Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1)
(generalmente se sustituye en la mas sencilla), se tiene:

7𝑥 + 4 −2 = 13
7𝑥 − 8 = 13
7𝑥 = 21
𝑥=3

R.

𝑥=3
𝑦 = −2

Verificación: sustituyendo x=3, y=-2 en la dos ecuaciones dadas, ambas se
convierten en identidad
Ejercicios para Resolver

1.

𝑥 + 6𝑦 = 27
7𝑥 − 3𝑦 = 9

5.

9𝑥 + 16𝑦 = 7
4𝑦 − 3𝑥 = 0

9.

6𝑥 − 18𝑦 =−85
24𝑥 − 5𝑦 = −5

2.

6.

3𝑥 − 2𝑦 = −2
5𝑥 + 8𝑦 = −60

14𝑥 − 11𝑦 = −29
13𝑦 − 8𝑥 =
0

10.

2𝑥 + 3𝑦 = 2
−6𝑥 + 12𝑦 = 1

3𝑥 + 5𝑦 = 7
2𝑥 − 𝑦 = −4

3.

7.

15𝑥 − 11𝑦 = −87
−12𝑥 − 5𝑦 = −27

11.

5𝑥 + 2𝑦 = 11
2𝑥 − 3𝑦 = 12

7𝑥 + 9𝑦 = 42
12𝑥 + 10𝑦 = −4

4.

8.

12.

7𝑥 − 4𝑦 = 5
9𝑥 + 8𝑦 = 13

5𝑥 − 𝑦 = 3
−2𝑥 + 4𝑦 = −12

2. Método por sustitución
Resolver el sistema

2𝑥 + 5𝑦 = −24 (1)
8𝑥 − 3𝑦 = 19 (2)Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos a
despejarla en la ecuación (1). Tendremos:

2𝑥 = −24 − 5𝑦 ⇒ 𝑥 =

−24 − 5𝑦
2

Este valor de x se sustituye en la ecuación (2).
8

−24 − 5𝑦
2

− 3𝑦 = 19

Ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolvemos esta
ecuación. Simplificando 8 y 2, queda:
4 −24 − 5𝑦 − 3𝑦 = 19
−96 − 20𝑦 − 3𝑦 = 19
−20𝑦 −3𝑦 = 19 + 96
−23𝑦 = 115
𝑦 = −5

Sustituyendo y =-5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
2𝑥 + 5 −5 = −24
2𝑥 − 25 = −24
2𝑥 = 1
1
𝑥=
2

1
𝑅.
2
𝑦 = −5
𝑥=

Verificación: sustituyendo x=1/2, y=-5 en la dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en
identidad
Ejercicios para Resolver

1.

𝑥
5𝑥

5.

15𝑥 + 11𝑦 = 32
7𝑦 − 9𝑥 = 8

9.

12.

+ 3𝑦 = 6
− 2𝑦 = 13

−13𝑦
−8𝑥

2.

5𝑥 + 7𝑦 =−1
−3𝑥 + 4𝑦 = −24

6.

10𝑥 + 18𝑦 = −11
16𝑥 − 9𝑦 = −5

+ 11𝑥 = −163
+ 7𝑦 = 94

𝑥 + 2𝑦 = 1
−3𝑥 + 𝑦 = −10

10.

3.

7.

3𝑥 − 2𝑦 = −4
2𝑥 + 𝑦 = 2

4𝑦 + 3𝑥 = 8
8𝑥 − 9𝑦 = −77

4.

𝑥 − 5𝑦 = 8
−7𝑥 + 8𝑦 = 25

32𝑥 − 25𝑦 = 13
4𝑥 + 5𝑦 = 5
8.
−10𝑦 − 4𝑥 = −7
16𝑥 + 15𝑦 = 1

11.

4𝑥 − 𝑦 = −9
2𝑥 + 2𝑦 = −2

3. Método de reducción

1) Resolver el sistema

5𝑥 + 6𝑦 = 20 (1)
4𝑥 − 3𝑦 = −23 (2)

En este método se haceniguales los coeficientes de una de las incógnitas . Vamos a igualar los
coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo mas sencillo.
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2x3=6, y tendremos:

5𝑥 + 6𝑦 = 20
8𝑥 − 6𝑦 = −46
Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas
ecuaciones porque con ello se elimina la y:
5𝑥 + 6𝑦 = 20
8𝑥 − 6𝑦 = −46
13𝑥...