GUIA Sistemas De Ecuaciones De Primer Grado

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Guía Matemática
SISTEMAS DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO
´ Melgarejo
profesor: Nicolas

.cl

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1.

Sistema de ecuaciones

Considera que tienes dos variables v y t que se relacionan de cierta manera particular mediante una
ecuaci´on, por ejemplo la rapidez de un cuerpo y el tiempo transcurrido:
v = v1 + a1 t
donde v1 y a1 son coeficientes conocidos. Considera ahoraotra relaci´on diferente entre las mismas
variables anteriores:
v = v2 + a2 t
donde v2 y a2 son coeficientes conocidos. Si quisi´eramos saber en qu´e momento los dos cuerpos tendr´
an
la misma rapidez, debemos encontrar los valores de v y t que satisfacen a la vez ambas ecuaciones de
primer grado con dos inc´
ognita. Cuando tenemos una lista de condiciones descritas como ecuaciones que
debensatisfacerse a la vez, llamamos a eso sistema de ecuaciones.
De modo general se le denomina sistema de ecuaciones a la reuni´
on de dos o m´as ecuaciones con dos o
m´
as inc´
ognitas.
A cada una de las ecuaciones se les denomina tambi´en restricciones o condiciones. Consideremos
la siguiente ecuaci´
on de primer grado con dos inc´ognitas:
x + y = 10
Una soluci´on posible es x = 0 e y = 10, es f´acildarse cuenta que no es la u
´nica. Otra soluci´
on es
x = 2 e y = 8 y podremos encontrar infinitos pares de soluciones para una ecuaci´on de primer grado con
dos inc´ognitas. Digamos que ahora queremos que adem´as de la condici´on anterior, se cumpla la siguiente
restricci´on para los valores de x e y:
x−y =2
De acuerdo a lo anterior, debemos encontrar los valores de x e y que satisfacen ambascondiciones. La
simbolog´ıa com´
un para un sistema de ecuaciones es:
x+y
x−y

=
=

10
2

´
Este
es un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc´ognitas. Para resolverlo podemos usar varios m´etodos
sugeridos, pero los principios detr´
as de esos m´etodos no son nuevos, son los mismos que hemos descrito
para resolver una ecuaci´
on de primer grado, teniendo en cuenta siempre que los valores de las inc´
ognitasx e y son los mismos para ambas ecuaciones.

2.

M´
etodos m´
as usuales para la resoluci´
on de sistemas de ecuaciones

El objetivo para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con 2 inc´ognitas es reescribir las
ecuaciones en funci´
on de una sola variable, a esta acci´on se le denomina eliminaci´
on y hay 3 maneras
de hacerlo: igualando, comparando y reduciendo.

2

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road2.1.

Igualaci´
on

En este m´etodo despejamos cualquiera de las dos inc´ognitas en las dos ecuaciones, por ejemplo x, como
representa el mismo valor para ambas ecuaciones podemos igualar los miembros distintos de la inc´
ognita
x despejada. Veamos un ejemplo:

✎ Ejemplo
Resolver el sistema

x+y
x−y

=
=

10
2

(1)
(2)

Soluci´
on: De (1) Despejamos x
x + y = 10
x = 10 − y

(3)

Despejamos x de laecuaci´
on (2):
x−y =2
x=2+y

(4)

Como las ecuaciones (3) y (4) son iguales a lo mismo, podemos igualarlas
10 − y = 2 + y
Ahora que tenemos una ecuaci´
on con una inc´ognita podemos encontrar la soluci´on para y.
10 − y = 2 + y
10 − 2 − y = y
8 = 2y
4=y
Usamos el valor de y = 4 en (3) o en (4) para obtener el valor de x.
x=2+y
=2+4
=6
La soluci´on del sistema de ecuaciones es x = 6 e y = 4.Podemos verificar la soluci´
on al reemplazar los valores de las inc´ognitas en las ecuaciones (1) y (2).

Desaf´ıo I
Del ejemplo anterior realiza la gr´afica de cada ecuaci´on en el plano cartesiano e
identifica el punto de intersecci´on de las curvas. ¿Qu´e relaci´on crees que existe entre
el punto de intersecci´
on y los sistemas de ecuaciones? Respuesta

3

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2.2.

Sustituci´
onEste m´etodo consiste en despejar una de las inc´ognitas en una de las ecuaciones y luego sustituir el
valor de esa inc´
ognita en la otra ecuaci´
on del sistema. Veamos un ejemplo:

✎ Ejemplo
Resolver el siguiente sistema

x + 3y
5x − 2y

=
=

6
13

Soluci´
on: Despejamos x de la primera ecuaci´on
x + 3y = 6
x = 6 − 3y

(1)

Reemplazamos (1) en la segunda ecuaci´on del sistema de ecuaciones, esto...