GUIA SOBRE LOS NUMEROS REALES


EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

El conjunto de los números reales, denotado por la letra R con la forma que ves a la izquierda, está formado por todos los números racionales y todos los números irracionales. Es decir, todos los números que pueden escribirse en forma decimal, sea ésta exacta, periódica o no periódica.

NUMEROS RACIONALES (ℚ)
Un número Racional es aquel que se puede expresarde la forma p/q, donde p y q son enteros y q es diferente de cero.
Los números enteros (ℤ) están formados por: enteros positivos o naturales (ℤ += ℕ = {1, 2, 3, 4….}); el cero {0} y los enteros negativos (ℤ - = {-1, -2, -3, -4, -5,….). Simbólicamente: ℤ = { Z+ U 0 U ℤ - }
¿un número entero será un número racional? Sí, todo entero se puede escribir de la forma p/q, veamos algunos ejemplos: 5 =5/1, 23 = 23/1, 0 = 0/1, -2 = -2/1 luego los enteros son racionales

Otros racionales son:
Decimales exactos o finitos: Sus cifras decimales se pueden contar ej. 5,7 ; 3,29 ; 36,398
Decimales infinitos periódicos. Tienen infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente, éstos pueden ser:
periódicos puros. El período inicia inmediatamente después de la coma ej 3,474747…(su período es47)
periódicos mixtos. Entre la coma y el período hay otros números. ej 6,92364364364 (su período es 364)

Los decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos tienen en común que su parte decimal acaba
siendo periódica (por lo que a todos ellos los llamaremos decimales periódicos). Además, hemos visto que pueden escribirse en forma de fracción o razón, por lo que a partir de ahora a losdecimales periódicos los llamaremos números racionales.

Fracción generatriz
Todo decimal periódico puede expresarse en forma de fracción que llamaremos fracción generatriz del decimal en cuestión, para hallar la fracción generatriz procedemos así:
• Decimal exacto
Queda dividido por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay.
Ejemplos
1) 24,75
Solución:
Hacemos x = 24,75como el número tiene dos cifras decimales entonces multiplicamos por 102 o sea por 100:
100x = 2475 (nótese que al multiplicar por 100 la coma se corre dos cifra hacia la derecha)
despejamos x: x = 2475/100 simplificando nos queda 99/4
por lo tanto 24,75 = 2475/100
Simplificando = 99/4

2) x = 5,7 tiene una cifra decimal, multiplicamos por 10
10x = 57 x = 57/10por lo tanto 5,7 = 57/10

3) x = 3,138 tiene tres cifras decimales entonces multiplicamos por 1000
1000x = 3138 x = 3138/1000 por lo tanto 3,138 = 3138/1000
= 1569/500
• Decimal periódico puro
En el numerador se escribe la diferencia entre la parte entera seguida del periodo y la parte entera, en eldenominador tantos nueves como cifras tiene el periodo.
Ejemplos
1) x = 8,6666… El período tiene una cifra, entonces multiplicamos por 10
10x = 86,6666… (nótese que al multiplicar por 10 la coma se corre una unidad a la derecha)

Restamos: 10x = 86,6666…
-x = 8,6666…
9x = 78 Despejamos x: x = 78/9 simplicando x = 26/3Luego la fracción generatriz de 8,6666… es 78/9

2) x = 6,434343… El período tiene dos cifras, entonces multiplicamos por 100
100x = 643,434343…
Restamos 100x = 643,434343…
-x = 6,434343…
99x = 637 Despejamos x = 637/99
Luego la fracción generatriz de 6,434343… es 637/99





• Decimal periódico mixto
En el numerador seescribe la parte entera seguida de las cifras hasta acabar el primer periodo menos la parte
entera seguida de las cifras hasta comenzar el periodo, en el denominador tantos nueves como cifras tiene el
periodo seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.

Ejemplos
1) x = 27,5313131…
El anteperíodo es el 5, como tiene una cifra, multiplicamos por 10
10x = 275,313131…
El...