Guia sucesiones

´ Universidad Andres Bello Facultad de Ingenier´ ıa ´ y Construccion Civil ´ Departamento de Matematicas

´ Algebra (FMM013) Gu´ 5 ıa Sucesiones, Inducci´n y Sumatorias: o
1. Por inspecci´n encuentre la f´rmula para el t´rmino n-´simo de las siguientes secueno o e e cias: a) 1 · 3 · 22 , 2 · 4 · 32 , 3 · 5 · 42 ,... b) 1 · 5 · 9, 2 · 6 · 10, 3 · 7 · 11,... 1 1 1 c) 1·3·5 , 3·5·7 , 5·7·9 ,... 45 6 d ) 1·2·3 , 2·3·4 , 3·4·5 ,... e) f) g)
1 22 32 4, 3·4 42 , 4·5 43 ,... 2·3 5 1 9 , 7 ( 1 )2 , 3·4 ( 1 )3 ,... 1·2 3 2·3 3 3 1 , 1 , 1 ,... 1·3 1·3·5 1·3·5·7

2. Encuentre una progresi´n aritm´tica en que el tercer t´rmino es igual a cuatro veces o e e el primer t´rmino y el sexto t´rmino es 17. e e 3. Si la suma de 7 t´rminos de una progresi´n aritm´tica es 49 y la suma de 17 t´rminos e oe e es 289 encuentre la suma de N t´rminos. e 4. El quinto t´rmino de una progresi´n geom´trica es 81 y el segundo es 24. Escriba la e o e serie. 5. La suma de los seis primeros t´rminos de una progresi´n geom´trica es igual a 9 veces e o e la suma de los tres primeros t´rminos. Encuentre la raz´n de la progresi´n (el valor de e o o r). 6. Encuentre el valor de tres n´meros en progresi´ngeom´trica que suman 38 y que su u o e producto es 1728. 7. Encuentre el valor de tres n´meros en progresi´n geom´trica cuyo producto es 216 y u o e la suma de los productos de a dos es 156. 8. Utilizando serie geom´trica encuentre valores de p, q ∈ N tales que: e

a) b) c)

p q p q p q

= 5, 0399 = 0, 423 = 8, 8

d) e) f)

p q p q p q

= 2, 45678123 = 1001, 1001 = 0, 00559

9. La suma de Nt´rminos de una progresi´n geom´trica de raz´n 3 es 728 y el ultimo e o e o ´ t´rmino es 486. Encuentre el primer t´rmino. e e 10. Sea {an }n∈N una progresi´n aritm´tica de paso d. Muestre que: o e a) ∀N ∈ N, 8d
N n=1

an = (d + 2aN )2 implica que d = 2a1 .

b) ∀n < m < r ∈ N, (m − r)an + (r − n)am + (n − m)ar = 0. c) Si an , am , ar y as con n < m < r < s ∈ N est´n en progresi´n geom´tricaentonces a o e n − m, m − r, r − s tambi´n est´n en progresi´n geom´trica. e a o e d ) ∀N ∈ N, ∀k ∈ N:
2N +1

an+k = ak+N +1 · (2N + 1)
n=1

o e 11. Sea {an }n∈N una progresi´n geom´trica. Muestre que: a) ∀n < m < r ∈ N, am−r br−n cn−m = 1. n b) ∀n ∈ N: (an+1 − an+2 )2 + (an+2 − an )2 + (an+3 − an+1 )2 = (an − an+3 )2 . 12. Sea {an }n∈N una secuencia tal que ∀N ∈ N,
N n=1

an = a + bN + cN2 con a, b, c ∈ R.

Encuentre una f´rmula para el termino an y deduzca que tipo de secuencia es (aro itm´tica, geom´trica, arm´nica). e e o 13. Encuentre una progresi´n aritm´tica de modo que ∀N ∈ N, la suma de N t´rminos o e e 2 sea 2N + 3N . o e 14. Sea {an }n∈N una progresi´n aritm´tica tal que para dos valores fijos N, M ∈ N ,aN = M y aM = N . Encuentre el valor de an para cualquier n ∈ N.15. Sea {an }n∈N una progresi´n geom´trica y a, c ∈ R tal que a1 = 1 y ∀N ∈ N, o e a2N = a · a2N +1 y a2N −1 = c · a2N . ∀N ∈ N, encuentre el valor de
2N n=1

an .

16. Se dice que tres n´meros a1 , a2 y a3 est´n en progresi´n arm´nica cuando: u a o o a1 a1 − a2 = . a3 a2 − a3 a) Si a2 , b2 y c2 est´n en progresi´n aritm´tica entonces b + c, a + c, a + b est´n en a o e a progresi´narm´nica. o o b) Si a, b, c est´n en progresi´n arm´nica muestre que a o o
a a−b

=

a+c .. a−c

17. Decimos que una secuencia a1 ,a2 ,...,an ,... es arm´nica si cada grupo de tres t´rminos o e consecutivos est´n en progresi´n arm´nica. a o o Muestre que si {an }n∈N es progresi´n arm´nica entonces: o o a)
1 , 1 ,..., a1 ,... a1 a2 n

es aritm´tica. ¿La rec´ e ıproca es cierta?
nm . n+m

b) Siam = n y an = m con n, m ∈ N entonces am+n = c) (m − r)am ar + (r − n)an ar + (n − m)an am = 0

18. Pruebe que para todo n ∈ N si se divide el plano cartesiano (R2 ) en regiones utilizando n rectas. Se pueden colorear las regiones utilizando solo dos colores de modo que las regiones que comparten un borde no tienen el mismo color. 19. Pruebe que para cualquier n ∈ N todo tablero cuadrado de...