guia sumatorias

Cap´ıtulo 3
Sucesiones, inducci´
on y
sumatorias
3.1.

Sucesiones

Definici´
on 1
Una sucesi´on es una funci´on definida de N → R que se acostumbra a denotar
por an en lugar de f (n), costumbre que tambi´en adoptaremos en este texto,
as´ı,
an ∈ R,
∀n∈N
an : se llama t´ermino n–´esimo o t´ermino de lugar n.
a1 : es el primer t´ermino de la sucesi´on.
ak : es el k–´esimo t´erminode la sucesi´on.
Las sucesiones se encuentran presentes en casi todos los t´opicos de las matem´aticas,
de ah´ı su importancia. Eventualmente, n ∈ N0 , N0 = N ∪ {0}.
Ejemplo 1
Vamos a dar algunas sucesiones definidas por su t´ermino n–´esimo, o bien, en
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on y sumatorias

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forma recursiva.
1. an =

2n−1
n2 +1

2. an = 2n − 1
3. an =(−1)n
4. an = cos(nπ)
5. an = 1 + 2 + 3 + . . . + n
6. an =

1
n

7. a1 = 1, a2 = 2, . . . , an+2 = an+1 + an
√
√
√
8. a1 = 2, a2 = 2 + 2, . . . , an+1 = 2 + an
Dada la sucesi´on a1 , a2 , . . . , an , su k–´esimo t´ermino es ak , el siguiente t´ermino es ak+1 tambi´en llamado sucesor, el anterior al k–´esimo t´ermino es ak−1
tambi´en llamado antecesor.
Ejemplo 2
Dada la sucesi´on an=
anterior t´ermino.

2n−1
,
3n+1

determine el k–´esimo t´ermino, su siguiente y

De inmediato se tiene que:
ak =

2k−1
3k+1

ak =

2k−1−1
3(k−1)+1

=

2k−2
3k−2

es su anterior t´ermino.

ak =

2k+1−1
3(k+1)+1

=

2k
3k+4

es su siguiente t´ermino.

es el k–´esimo t´ermino.

El gr´afico de una sucesi´on, aunque no es relevante, es un conjunto discreto
depuntos que siempre se encuentran en el primer o en el cuarto cuadrante
de los ejes cartesianos, es decir:

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on y sumatorias

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DIBUJO
Observaci´
on.
Los conceptos de sucesiones crecientes, no crecientes, acotadas, convergentes,
etc., no se abordar´an en este texto. Para ellos consultar en el texto de C´
alculo
Integral y Diferencial en unaVariable.

3.2.

Ejercicios resueltos

1. Dada la sucesi´on: 1, 12 , 31 , . . .
a) Determine su t´ermino n–´esimo.
b) Pruebe que ak − ak+1 =

1
.
k(k+1)

c) Calcule a1 − an+1 .
Soluci´
on.
a) De inmediato an =
b) ak − ak+1 =
c) a1 − an+1 =

1
k
1
1

−
−

1
n

1
k+1

=

k+1−k
k(k+1)

1
n+1

=

n
n+1

2. Dada la sucesi´on 1, 1 + 12 , 1 +

1
2

=1
k(k+1)

+ 13 . . .

a) Determine el t´ermino de lugar n.
b) Determine el siguiente t´ermino al n–´esimo.
c) Demuestre que an+1 > an , ∀ n ∈ N.
Soluci´
on.
a) De inmediato se tiene que:
an = 1 + 21 + 13 + . . . + n1
b) an+1 = 1 + 21 + 13 + . . . +

1
n

+

1
n+1

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Sucesiones, inducci´
on y sumatorias

1
c) an+1 −an = 1+ 21 + 31 +. . .+ n1 + n+1
− 1 +21 + 13 + . . . +
pero como n ≥ 1 ⇒ an+1 − an > 0 ⇒ an+1 > an .

1
n

=

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1
,
n+1

3. Dada la sucesi´on: 11 , 13 , 15 , . . .
a) Determine el t´ermino n–´esimo.
b) Determine el anterior y siguiente t´ermino al n–´esimo.
c) Calcule a2k − a2k+1 .
Soluci´
on.
a) an =

1
.
2n−1

b) an−1 =

1
2n−3

1
2n+1

y an+1 =

c) a2k − a2k+1 =

1
2(2k)−1

1
2(2k+1)−1−

=

2
16k 2 −1

4. Desarrolle la siguiente sucesi´on definida recursivamente y de aqu´ı deduzca el n–´esimo t´ermino: a1 = 2, . . . , an+1 = 2an + 1.
Soluci´
on.
a1 = 2
a2 = 2a1 + 1 = 2 · 2 + 1 = 22 + 1
a3 = 2a2 + 1 = 2(22 + 1) + 1 = 23 + 2 + 1
a4 = 2a3 + 1 = 2(23 + 2 + 1) + 1 = 24 + 22 + 2 + 1
....................................... ............
an = 2an−1 + 1 = 2n + 2n−2 + 2n−3+ . . . + 22 + 2 + 1
M´as adelante, en el cap´ıtulo de progresiones, estaremos en condiciones
para efectuar esta suma, cuyo resultado es an = 3 · 2n−1 − 1.
5. Si a1 = 1 . . . an+1 = an +

1
n+1

demuestre que:

a) a1 + a2 = 3(a3 − 1) y que a1 + a2 + a3 =
b) an = 1 + 12 + 13 + . . . +

1
n

13
3

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Soluci´
on....