Guia_teoria_practica_03_NUEVA
















REGLA DE LA CADENA Y DERIVADA IMPLICITA

I. INTRODUCCIÓN – MOTIVACIÓN
La regla de la cadena representa la que es probablemente la más útil de todas las herramientas de derivación. Es un recurso que se utiliza con frecuencia al manejar el cálculo diferencial.

Cuando la usamos al derivar una función complicada, es necesario reconocer que la función dada se puede escribir como lacomposición de dos funciones más simples.

En muchas de las variables económicas, es tan importante el nivel que muestra la variable como el ritmo al que se mueve. Por ejemplo, el Producto Bruto Interno es más conocido por su ritmo de crecimiento que por su nivel, y lo mismo le ocurre al índice de precios al consumidor, que pocos saben en qué nivel está, pero muchos saben cuánto cambió en el últimomes.

Así, el ritmo de cambio llega a ser más importante que el nivel de las variables. Este ritmo de crecimiento, o tasa de crecimiento, no es más que la derivada de la función respecto al tiempo.

II. CAPACIDAD A LOGRAR

Analiza las aplicaciones de la derivada en la solución de modelos económicos, físicos, biológicos y de la ingeniería.




III. DESARROLLO TEÓRICO – PRÁCTICO

3.1. DEFINICIÓN –REGLA DE LA CADENA



Entonces en nuestra tabla si esta se convierte en:



















3.2. DEFINICIÓN – DERIVADA IMPLICITA

Hasta ahora nuestras ecuaciones en dos variables se expresaban generalmente en la forma explicita . Esto es, una de las dos variables estaba dada explícitamente en términos de la otra. Por ejemplo:


Pero no siempre están dadas en forma explicita como , perosi nos pidieran hallar en esta ecuación seria sencillo pues se puede despejar fácilmente la variable y. Esto es:

y tendríamos que

Pero este método solo funciona si y es fácil de despejar, no en general. Por ejemplo ¿cómo hallaríamos para la ecuación.



donde no es fácil despejar y ? En este caso utilizaremos la derivación implícita.

Para entender como hallarimplícitamente, debemos observar que la derivación se efectúa respecto de x. ello quiere decir que cuando derivemos términos que contienen solo a x, podemos derivar como de costumbre. Pero cuando derivamos términos que contiene y hemos de aplicar regla de cadena porque estamos suponiendo que y esta definida implícitamente como una función de x.

Para esto daremos las siguientes recomendaciones aseguir.



Ejemplos.
1- Dada la ecuación:

Solución

Derivando a ambos miembros tenemos:


Agrupando adecuadamente tenemos:

Despejando se tiene:

2- Dada la ecuación: Hallar
Solución

Derivando implícitamente respecto de x.






3- Hallar la derivada de la función

Solución

En

Usando derivación logarítmica: (Aplicamos logaritmo a ambos miembros)Derivando implícitamente


Es decir:



4- Dada la ecuación Hallar

Solución


Derivando implícitamente respecto de x:




REGLA PRÁCTICA
Una forma práctica de hallar de la ecuación es aplicando la siguiente fórmula.


Apliquemos este criterio a nuestro primer ejemplo.

hallemos en

primero igualemos a cero la ecuación.

y tenemos que:Reemplazando en nuestra fórmula tenemos que:






IV. ACTIVIDADES
A. REGLA DE LA CADENA

Aplicando la regla de la Cadena y lo aprendido hasta ahora, discute la resolución de los siguientes ejercicios, sigue las instrucciones planteadas:

a) Identifica las funciones compuestas.
b) Identifica las reglas y/o propiedades a aplicar.
c) Obtenga la derivada.

Nivel 01
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5- 6-
8-9-
10- 11-


Nivel 02
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7- 8-
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Nivel 03

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9- 10-
11- 12-
13- 14-


B. ACTIVIDADES – DERIVADA IMPLICITA


Nivel 01

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3- 4-

5- 6-

7- 8-
9- 10-
11- 12-


13- Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado

a)...