Guia Trabajo Edo

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Universidad Tecnica Federico Santa Mar´a
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Departamento de Matematica

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Matematica III (MAT023)
1er Semestre de 2011
Derivadas de orden superior y regla de la cadena

1. Si u = ln (x2+ y 2 ) verificar que
∆u =

∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x2 ∂y 2

2. Si u = arctan xy/ 1 + x2 + y 2 probar que
1 + x2 + y 2
15xy

uxy =
uxxyy =

−3/2

(1 + x2 + y 2 )7/2

3. Si u = ln (x2 + y 2+ z 2 ) probar que
xuyz = yuzx = zuxy
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4. Si u es una funcion de las variables x e y y si x = r cos θ, y = r sin θ probar
que
2
2
2
2
1 ∂f
∂f
∂f
∂u
+2
=
+
∂r
r
∂θ
∂x
∂y
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5. Siz es una funcion de u y v , y adem´ s u = xey , v = xe−y muestre que
a
x2

∂ 2z
∂z
∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
−x
+ y 2 2 = 2 u2 2 + v 2 2
∂x2
∂x
∂y
∂u
∂v

´
´
6. Si f es una funcion devariables x e y , ademas x = eu cos v, y = eu sin v
probar que
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+ 2 = x2 + y 2
+2
∂u2
∂v
∂x2 ∂x
y
2
2
2
2
∂f
∂f
∂f
∂f
2
2
+
= x +y
+
∂u
∂v
∂x
∂y
´
´
7. Probarque si V : Rn → R es una funcion homogenea de grado n (es decir
V (tx) = tn V (x)) entonces
V · x =nV (x)
es decir

n

i=1

MAT023

∂V
(x) xi = nV (x)
∂xi
1

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Departamento de Matematica

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8. Probar que si V es una funcion homogenea de grado n en las variables
x, y, z entonces si r2 = x2 + y 2 + z 2
∆ (rm V ) = m (m + 2n +1) rm−2 V + rm ∆V
aqu´ ∆f denota
ı
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+ 2+ 2
∂x2
∂y
∂z
9. Si u = f (y/x2 ) donde f : R → R es diferenciable, muestre que
∂u
∂u
+ 2y
=0
∂x
∂y
´
´
reciprocamente muestreque toda solucion de la ecuacion
x

x

∂u
∂u
+ 2y
=0
∂x
∂y

´
tiene por solucion u = f (y/x2 ) donde f es arbitraria.
10. Si u = f (x + αt) + g (x − αt) donde f y g son funciones de unavariable
derivables, muestre que
∂ 2u
∂ 2u
= α2 2
∂t2
∂x
´
rec´procamente, muestre que las soluciones de la ecuacion anterior tienen
ı
la forma u = f (x + αt) + g (x − αt).
11. Sea z = f...