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Progresiones aritméticas y geométricas

4º B - ESO – 1º Bachillerato CCSS

Progresiones aritméticas y geométricas
1. Esquema de la unidad
PROGRESIONES

Progresiones
Aritméticas

Suma de n
términos

Progresiones
Geométricas

Suma de n
términos

Interés compuesto

Producto de n
términos

2. Progresiones aritméticas
Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales a1, a2,
a3, a4, a5,..., an,... Cada uno de los números reales se llama término de la sucesión.
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión de números
reales. Al término:
an = 3 + 2(n-1)
se le llama término general.
Sin embargo, no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, en la
importante sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23,... no hay ninguna
fórmula que exprese el término general.
Consideremos la sucesión de término general an = 3n + 2
{an }= {5, 8, 11, 14, 17, 20,...}
Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que
la sucesión an es una progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la progresión.

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A.G.Onandía

Progresiones aritméticas y geométricas

4º B- ESO – 1º Bachillerato CCSS

Definición: Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos
(salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa
por d.
En la progresión anterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8 - 5 = 3.
En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n primeros términos de la
progresión; en este caso setrata de una progresión aritmética limitada.
Son progresiones aritméticas:
•

Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2.

•

Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3.
Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a... La diferencia es d = a.

Ejercicio 1:
Escribir los 8 primeros términos de las progresiones aritméticas cuyo término y diferencia se
indicaen cada caso:
a) a1=3, d=4

b) a1=-4, d=3

c) a1=9, d=-2

d) a1=-2, d=-3

e) a1=7, d=0,5

f) a1=6,8, d=-0,3

2.1 Término general
Fijémonos en la progresión aritmética ilimitada a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Según la
definición, cada término es igual al anterior más la diferencia.
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d
Generalizando este proceso seobtiene el término general:
a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d

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A.G.Onandía

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Ejemplos:
•

El término general de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14... es:
an = 5 + (n - 1) · 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2

•

El término general de una progresión aritmética en la que a1 = 13 y d = 2 es:
an = 13 + (n - 1) · 2 = 13 + 2n - 2 = 2n + 11•

Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que a11 = 35 y d = 4.
Escribimos a11 = a1 + (11 - 1) · 4, es decir, 35 = a1 + 40, de donde a1 = 35 - 40 = -5

•

Hallar el octavo término de una progresión aritmética, cuyo primer término es 3 y su
diferencia 5.

•

Sol: a8=38

Hallar el primer término de una progresión aritmética que consta de 20 términos, si se
sabe que el último es83 y la diferencia es 4.

•

Sol: a1=7

¿Cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo primer término es 15 y el último
-90, si la diferencia es -3?

•

Sol: n=36

Hallar la diferencia de una progresión aritmética que consta de 12 términos siendo 6 el
primero y 39 el último.

Sol: d=3

Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término
cualquiera, enlugar del primer término. Como an = a1 + (n - 1) · d y ak = a1 + (k - 1) · d,
despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta:

a n = ak + (n − k ) ⋅ d
Ejercicio 2:
Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión aritmética. Calcular la
incógnita que se indica en cada uno de ellos:
a) a1=3, d=4, a8=? Sol: 31

b) a1=5, a10=32, d=? Sol: 3

c) a1=3, d=3, an=36, n=? Sol:...