GUIA Vectores

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Guía Matemática
VECTORES
tutora: Jacky Moreno

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1.

Cantidades vectoriales y escalares

En general, dentro de las matem´
aticas, estamos acostumbrados a trabajar con magnitudes que quedan
conocidas tan s´
olo especificando su valor num´erico y/o su unidad de medici´on. Por ejemplo, al decir que
el volumen de un cubo es 100 [m3 ] o que el ´area de untri´angulo es de 12 [cm2 ] nos basta para poder
describir y entender el problema con el cual estamos trabajando. Pues bien, este tipo de cantidades que
quedan definidas u
´nicamente por su magnitud se conocen como magnitudes escalares.

Una cantidad escalar es aquella que queda determinada s´
olo cuando se conoce su magnitud.
Sin embargo, existen algunas magnitudes que no quedan completamente determinadassi u
´nicamente
se proporciona su magnitud. Por ejemplo, al decir que un auto se desplaza a 80 [km/h] no me basta
para describir el movimiento que est´
a realizando, ya que desconozco la direcci´
on de su movimiento y
el sentido en que se est´
a desplazando. Este tipo de cantidades que requieren de una mayor informaci´
on
para ser descritas se conocen como magnitudes vectoriales, puesto que sepueden representar a trav´es
de vectores.
Una cantidad vectorial es aquella que queda determinada por su magnitud, su direcci´on y su sentido.

2.

Vectores

Como ya mencionamos anteriormente un vector queda definido cuando se especifica su magnitud,
direcci´on y sentido. Gr´
aficamente estas tres caracter´ısticas se pueden representar por medio de una flecha.

2

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En la figura, laflecha rosada representa al vector AB, en donde A es el punto inicial u origen y B
es el punto final o extremo. Tambi´en podemos designar a un vector usando una letra min´
uscula, por
ejemplo, v representa el vector v.
En base a la representaci´
on gr´
afica de los vectores podemos identificar sus elementos de la siguiente
manera:
Magnitud: Corresponde a la longitud del segmento AB y se representapor |v|.
Direcci´
on: Corresponde a la recta que pasa por el origen y el extremo del vector.
Sentido: Est´
a indicado por la punta de la flecha, partiendo desde el origen A traslad´andose hacia
el extremo B.

Desaf´ıo 1
¿Por cu´
antas flechas puede ser representado el vector v = (3, 2)?
Respuesta

Como vimos, cualquier vector se puede representar geom´etricamente por medio de una flecha, sinembargo, tambi´en podemos describir un vector de forma anal´ıtica por medio de sus coordenadas cartesianas.
As´ı entonces, el vector v de la figura se puede representar en el plano en forma de un par ordenado,
indicando en la primera coordenada las unidades horizontales que nos debemos desplazar para ir desde el
origen al extremo del vector y en la segunda coordenada las unidades verticales que nosdebemos desplazar
para realizar el mismo movimiento.
v = (x, y)

En general, la forma anal´ıtica de un vector cuyo origen es el punto A(x1 , y1 ) y cuyo extremo es el
punto B(x2 , y2 ) es:

v = (x2 − x1 , y2 − y1 )

3

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Bas´andonos en la representaci´
on anal´ıtica de los vectores podemos decir que la magnitud de un vector
cualquiera v = (x, y) se puede determinar, usando el teoremade Pit´agoras, de la siguiente forma:
|v| =

x2 + y 2

✍ Ejercicios

1

1. Representa gr´
aficamente y calcula la magnitud de los siguientes vectores en el plano cartesiano cuyos
puntos de origen y extremo se se˜
nalan a continuaci´on:
a) A(0, 0) y B(5, −3)
b) C(2, −2) y D(2, 2)
c) X(7, −3) y Y (−5, 2)
d ) A (5, 2) y B (4, 1)
e) M (0, −1) y N (8, 9)
f ) P (4, 0) y Q(5, −12)

3.
3.1.

Operacionesb´
asicas con vectores
Adici´
on

Gr´aficamente, para sumar dos vectores arbitrarios v y u, debemos primeramente dibujar el vector v y
luego el vector u con su origen empezando desde el extremo de v tal como lo muestra la figura. El vector
resultante p es el dibujado desde el origen de v hasta el extremo de u. ¿Es conmutativa la suma entre
vectores?

4

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Regla del paralelogramo...