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Publicado: 1 de junio de 2013
4.1 Diferenciación numérica.
Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de la función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función.
4.1.1 Fórmula de diferencia progresiva y regresiva.
Diferencias finitas.
Sólo se consideran normalmente tres formas: laanterior, la posterior y la central.
4.1.1. Formula de diferencia progresiva y regresiva.doc
4.1.2 Fórmula de tres puntos.
Supongamos que solo tenemos tres datos igualmente espaciados,es decir, con . Aplicando la fórmula anterior con tres puntos, para respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")
4.1.2. Formula de tres puntos.doc4.1.3 Fórmula de cinco puntos.
De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados,
con , se puede obtener la fórmula de cinco puntos.
4.1.3. Formula de cinco puntos.doc
4.2 Integración numérica.
En análisi numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término seusa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral multiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por laintegración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:
1213
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
12345
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden seraplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.
Razones para la integración numérica
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento ymanejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de laaproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.
4.2.1 Método del trapecio.
La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primergrado:
76
Una línea recta se puede representar como:
1
753
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los limites ɑ y b:
378
El resultado de la integración es:
7452
Que se denomina regla del trapecio.
4.2.1. Metodo del trapecio.doc
4.2.2 Métodos de Simpson.
REGLA DE SIMPSON
La regla se Simpson ⅓ resultacuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación:
ertg615
Si se designan ɑ y b como xₒ y x₂ , y ƒ₂ (x) se representan por un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en:
w1d5f
Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la siguiente formula:
wet4
donde, en este caso, h=(b - ɑ)/2. Esta...
Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de la función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función.
4.1.1 Fórmula de diferencia progresiva y regresiva.
Diferencias finitas.
Sólo se consideran normalmente tres formas: laanterior, la posterior y la central.
4.1.1. Formula de diferencia progresiva y regresiva.doc
4.1.2 Fórmula de tres puntos.
Supongamos que solo tenemos tres datos igualmente espaciados,es decir, con . Aplicando la fórmula anterior con tres puntos, para respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")
4.1.2. Formula de tres puntos.doc4.1.3 Fórmula de cinco puntos.
De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados,
con , se puede obtener la fórmula de cinco puntos.
4.1.3. Formula de cinco puntos.doc
4.2 Integración numérica.
En análisi numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término seusa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral multiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por laintegración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:
1213
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
12345
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden seraplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.
Razones para la integración numérica
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento ymanejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de laaproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.
4.2.1 Método del trapecio.
La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primergrado:
76
Una línea recta se puede representar como:
1
753
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los limites ɑ y b:
378
El resultado de la integración es:
7452
Que se denomina regla del trapecio.
4.2.1. Metodo del trapecio.doc
4.2.2 Métodos de Simpson.
REGLA DE SIMPSON
La regla se Simpson ⅓ resultacuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación:
ertg615
Si se designan ɑ y b como xₒ y x₂ , y ƒ₂ (x) se representan por un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en:
w1d5f
Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la siguiente formula:
wet4
donde, en este caso, h=(b - ɑ)/2. Esta...
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