Guia0

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Práctica 0: Tasa de crecimiento poblacional∗
Profesor: Giovanni Calderón
Grupo Ciencias de la Computación
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias
Universidad de Los Andes, Mérida 5101, Venezuela
e-mail: giovanni@ula.ve, http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/giovanni

Problema 1 Para una relación particular huésped-parásito, se determino que cuando ladensidad del huésped (número de huéspedes por unidad de área) es x, entonces el número de
parásitos a lo largo de un periodo es y, donde
y = 11 1 −

1
1 + 2x

.

Si la densidad de huéspedes fuera aumentando sin cota, ¿a qué valor se aproximaría y?
Problema 2 Para una relación particular de presa-depredador, se determinó que el número
y de presas consumidas por un depredador a lo largo de unperiodo fue una función de la
densidad de presas x (el número de presas por unidad de área). Suponga que
y = f (x) =

10x
.
1 + 0.1x

Si la densidad de presas aumentara sin cota, ¿a qué valor se aproximaría y?
Problema 3 El volumen V de cierta bacteria varía con la presión p de acuerdo con la ecuación
p = 150/V . Encuentre la razón de cambio de p con respecto a V cuando V = 5.
Problema 4 La temperaturaaproximada T de la piel en términos de la temperatura Tε del
medio ambiente está dada por T = 32.8 + 0.27(Tε − 20), donde T y Tε están en grados Celsius.
Encuentre la razón de cambio de T con respecto a Tε .
Problema 5 El volumen V de un célula esférica está dado por V = 43 πr3 , donde r es el
radio. Encuentre la razón de cambio del volumen con respecto al radio cuando r = 6.5 ∗ 10−4
centímetros.∗

Problemas de optimización en Biología, crecimiento exponencial.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sem. B-2011

2

Problema 6 Suponga que las 100 ciudades más grandes de Estados Unidos en 1920 fueron
clasificadas de acuerdo con su extensión (áreas de las ciudades). Según Lotka1 , la siguiente
relación es aproximadamente válida:
P R0.93 = 5.000.000,
donde P es la población de la ciudad con laclasificación R respectiva. Esta relación se llama ley
de la concentración urbana para 1920. Encuentre qué tan rápido está cambiando la población
con respecto a la clasificación.
Problema 7 En Nueva Escocia se llevó a cabo un estudio de la polilla de invierno2 . Las larvas
de la polilla caen al pie de los árboles huéspedes a una distancia de x pies desde la base del
árbol, la densidad de laslarvas (número de larvas por pie cuadrado de suelo) fue de y, donde
y = 59.3 − 1.5x − 0.5x2 ,

1 ≤ x ≤ 9.

a. ¿A qué razón está cambiando la densidad de las larvas con respecto a la distancia desde
la base del árbol cuando x = 6?
b. ¿Para qué valor de x está decreciendo la densidad de las larvas a razón de 6 larvas por
pie cuadrado?
Problema 8 En un análisis de las aguas de mares poco profundos, Odum3afirma que en tales
aguas la materia orgánica total y (en miligramos por litro) es una función de la diversidad x
de las especies (en número de especies por mil individuos). Si y = 100/x, ¿a qué razón estará
cambiando la materia orgánica total con respecto a la diversidad de especies cuando x = 10?.
¿Cuál es la razón de cambio cuando x = 10?
Problema 9 En un experimento depredador-presa, sedeterminó estadísticamente que el número
de presas consumidas, y, por un depredador individual es una función de la densidad x de presas
(el número de presas por unidad de área), donde
y=

0.7355x
.
1 + 0.02744x

Determine la razón de cambio de las presas consumidas con respecto a su densidad.
Problema 10 La densidad de algas en un tanque de agua es igual a n/V donde n es el número
de algas y V es
√ elvolumen
√ de agua en el tanque. Si n y V varían en el tiempo de la siguiente
manera: n = t y V = t + 1, calcular la tasa de cambio de la densidad.
Problema 11 Sea x el tamaño de cierta población de depredadores e y el tamaño de la
población de las presas. Como funciones del tiempo son respectivamente x(t) = t2 + 4 e
y(t) = 2t2 − 3t. Sea u el número de presas que le corresponden a cada...