Guia01

Matem´
atica IV
Set de Ejercicios #1
Integrales M´
ultiples

´cnica
Universidad Te
Federico Santa Mar´ıa
´ tica
Departamento de Matema
Casa Central - Valpara´ıso

Segundo Semestre 2015

Integrales Dobles: Problemas Resueltos
1. Calcule las siguientes integrales
3

2

|x − 2| sin y dxdy

(i)
1

0

1

1

(ii)
0

y

tan x
dxdy
x

Soluci´
on:
(i)
|x − 2| sin y dxdy
0

3

2

2

2

3

2

(x − 2) sin ydxdy

(2 − x) sin y dxdy +

=
0

1

−

=

0

1

(2 − x)2 2
(− cos y)
2
1

2

+
0

2

(x − 2)2 3
(− cos y)
2
2

=

1
1
(1 − cos 2) + (1 − cos 2)
2
2

=

1 − cos 2

2
0

(ii)
1
0

1
y

tan x
dxdy
x

1

x

=
0

0

tan x
dydx
x

1

=

tan xdx
0
1

=
0

sin x
dx
cos x

= − ln cos 1
2. Determine el volumen de la regi´
on encerrada por las superficies z + 2x + 2y = 1 y z = 3 − x2 − y 2 .
Soluci´
on:Procedemos obteniendo el dominio maximal del s´olido, el cual viene determinado por la regi´
on
encerrada por la curva
3 − x2 − y 2 = 1 − 2x − 2y,
de esta forma se tiene que la regi´
on buscada es D = (x, y) ∈ R2 / (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 4 , luego si utilizamos
el cambio de coordenadas
x

=

1 + 2r cos θ

y

=

1 + 2r sin θ,

P´agina 1 de 10

Coordinaci´on Mat024

cuyo jacobiano viene determinado por∂(x, y)
= 4r, tenemos que el volumen del s´olido viene dado por
∂(r, θ)

(3 − x2 − y 2 ) − (1 − 2x − 2y) dA =

4 − (x − 1)2 − (y − 1)2 dA

D

D
1

2π

4r|4 − 4r2 cos2 θ − 4r2 sin2 θ|drdθ

=
0

0

1

2π

4r|4 − 4r2 |drdθ

=
0

0

1

=

r|1 − r2 |dr

32π
0
1

=

r(1 − r2 )dr

32π
0

=

1 1
−
2 4

32π

= 8π

3. Determine la masa de una l´
amina Ω ⊂ R2 descrita en el primer cuadrante por la regi´onencerrada por las
2
2
curvas y = x , y = x + 3, y = −x2 + 9 e y = −x2 + 6. Considere que la densidad en cada punto de la l´
amina
y−x2
Ω viene determinada por ρ(x, y) = xe
.
Soluci´
on: Consideramos la transformaci´
on T definida como
u =

y − x2

v

y + x2 ,

=

luego la imagen del dominio Ω bajo la transformaci´on T definida anteriormente corresponde a
Ωuv = (u, v) ∈ R2 / 0 ≤ u ≤ 3, 6 ≤ v ≤ 9 ,donde el jacobiano de tal transformaci´
on viene dado por
∂(u, v)
−2x 1
= −4x
=
2x 1
∂(x, y)
de esta forma, la masa de la l´
amina se obtiene como

2

xey−x dA =
Ω

=
=

1
4
1
4

eu dudv
Ωuv
9

3

eu dudv
6

0

3 3
e −1 .
4

4. Sea D = (x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≤ 1 y una funci´on g continua en R. Compruebe que
1

g(x + y)dA =

g(u)du
−1

D

Soluci´
on: Para el desarrollo podemos considerar latransformaci´on T definida como
u = x+y
v

= y − x,

P´agina 2 de 10

Coordinaci´on Mat024

luego la imagen del dominio D bajo la transformaci´on T corresponde a
Ωuv = (u, v) ∈ R2 / − 1 ≤ u ≤ 1,

−1≤v ≤1 ,

donde el jacobiano de la transformaci´
on viene determinado por
∂(u, v)
1
=
−1
∂(x, y)

1
=2
1

luego
1

1

−1
1

−1

g(u)
dvdu
2

g(x + y)dA =
D

=

g(u)du
−1

5. Calcular el valor de la siguienteintegral
√

π/3

√
y

0

Soluci´
on: Notamos que la funci´
on f (x, y) =
limites de integraci´
on, de esta forma:
D=

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤

π/3

sin x2
dxdy
x

sin x2
es acota en el dominio D, luego podemos intercambiar los
x

π √
∧ y≤x≤
3

As´ı, para la integral solicitada tenemos que
√
√
π/3
π/3
x2
sin x2
sin x2
dydx =
y
x
x
0
0
0

π
3

π
∧ 0 ≤ y ≤ x2
3

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤

=

√

x2

π/3

xsin(x2 )dx =

dx =
0

0

1
2

π/3

sin(u)du =
0

1
4

6. Probar que
b

b

2
a

2

b

f (x)f (y)dydx =

f (x)dx

x

a
b

Soluci´
on: Por el teorema fundamental del calculo, sea F (b) − F (a) =

f (x)dx, luego
a

b

b

2

b

f (x)f (y)dydx =
a

x

f (x) [F (b) − F (x)] dx

2
a

b

=

b

f (x)dx − 2

2F (b)
a

f (x)F (x)dx
a
F (b)

=

2F (b) [F (b) − F (a)] −

2udu
F (a)
2

=

2F (b)2 − 2F (b)F (a) −F (b) + F (a)2

=

(F (b) − F (a))

2

b

=

2

f (x)dx
a

7. Mostrar que
4e5 ≤

ex

2

+y 2

dA ≤ 4e25

[1,3]×[2,4]

P´agina 3 de 10

Coordinaci´on Mat024

Soluci´
on: Sea f (x, y) = x2 + y 2 con (x, y) ∈ D = [1, 3] × [2, 4]. Como la funci´on x2 + y 2 tiene un m´ınimo
absoluto en (0, 0), pero f est´
a definida en un cuadrado que no contiene al origen, se tiene que en el punto m´
as
cercano de...