Guia09 I 2010 A

Cálculo Diferencial e Integral - Volumen de un sólido.

Prof. Farith J. Briceño N.

Objetivos a cubrir

Código : MAT-CDI.9

Volumen de un sólido : Secciones transversales.
Volumen de un sólido de revolución : Método del disco. Método de la arándela.
Volumen de un sólido de revolución : Método de los cascarones.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Sea S un sólido con base circular de radio 1. Lassecciones transversales paralelas, perpendiculares a la base,
son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido.
Solución : Consideremos que el círculo está centrado en el origen de coordenadas, es decir, tiene ecuación x2 + y 2 = 1.
y
1

0.5

0
-1

-0.5

0

0.5

1
x

-0.5

-1

Círculo de centro (0; 0) y radio 1. x2 + y 2 = 1

Sean pA (x; y1 ) y B (x; y2 ) puntos del círculo, así,
y=
1 x2, con lo cual la base del triángulo ABC,
es
p
p
jABj = 1 x2
1 x2 ;
es decir,

p
jABj = 2 1

x2

Dado que el triángulo es equilátero, el área de la sección transversal es
p
p
3 p
3
2
2 1 x2
A (x) = A ABC =
(base) =
4
4

y el volumen del sólido es

V =

Z1

1

A (x) dx =

Z1 p

3 1

x2

dx =

2

=

p

3 1

x2

p
4 3
:
3

1

F
Ejemplo 2 : Determinar el volumen de una cuña, cortada por un cilindrocircular por un plano, que pasando por el
diámetro de la base está inclinado respecto a ella formando un ángulo . El radio de la base es igual a R.

1

Solución : Tomamos el eje x como el diámetro de la base, por el que pasa el plano de corte y el eje y, perpendicular
al anterior. La ecuación de la circunferencia de la base será x2 + y 2 = R2 .

Se puede veri…car por triángulos semejantes que lasección transversal, ABC, de la cuña perpendicular al diámetro que
se encuentra a la distancia x del origen de coordenada 0 es un triángulo rectángulo isósceles. Si denotamos por y (x) a la
base y altura de este triángulo, entonces el área de la sección transversal, ABC, será igual a
A (x) = A

ABC

=

1
1
jABj jBCj = y (x) y (x) tan
2
2

=

y 2 (x)
tan :
2

Por lo tanto,
V =

ZR

A (x) dx =

R2

2

ZR

R

2

Despejando de x + y = R la expresión y, se tiene que y (x) =
V =

ZR

1
A (x) dx = 2
2

ZR

2

y (x) tan

y 2 (x)
tan
2
p

dx = tan

0

R

R2

dx

x2 , y puesto que y es una función par, obtenemos
ZR

R2

x2

dx =

2
tan :
3

0

F
Ejemplo 3 : Los ejes de dos cilindros horizontales, ambos de radio a, se intersecan en ángulo recto. Encuentre el volumen
de su sólido de intersección.Solución : Tenemos

-2

-2
-1

1
z

1
0.5
00
-0.5

-1

1

2
x

2
y

Sólido intersección entre los cilindros

Cilindros horizontales que se intersectan
perpendicularmente

Observemos que cada sección transversal es un cuadrado, cuyo lado se extiende a lo largo de los dos círculos que generan
los cilindros, así
Za
Za
p
2
16a3
V =
2 a2 x2 dx = 4
a2 x2 dx =
3
a

a

F

2

Ejemplo 4 : Hallar elvolumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las curvas y = x3 + x2 + 2x + 1,
x = 1 y los ejes coordenados alrededor de la recta vertical x = 2.
Solución : Obtenemos la gra…ca de la región en el intervalo [0; 1]. Así
3

2

3

2

Si x = 0 entonces y = (0) + (0) + 2 (0) + 1 = 1
Si x = 1 entonces y = (1) + (1) + 2 (1) + 1 = 5
además, la función y = x3 + x2 + 2x + 1 es creciente en [0;1], ya que
y 0 = x3 + x2 + 2x + 1

0

= 3x2 + 2x + 2 > 0;

por lo que,
y

5

3.75

2.5

1.25

0
0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5
x

Región limitada por las curvas
y = x + x2 + 2x + 1; x = 1; eje x y eje y
3

Observe que el comportamiento de la función fuera del intervalo [0; 1] no es de interés para la obtención del volumen
del sólido.
Como debemos girar alrededor de la recta x = 2 usamos elmétodo de las capas (también conocido como el método
de las envolventes cilindrícas ó el método de los cascarones).
y

y
6

5

3.75
4

2.5
2
1.25

0

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

1.25

2.5

3.75

x

Rectángulo representativo para
el método de las capas

Sólido de revolución generado

Como es conocido, el volumen viene dado por
V =2

5
x

Z1

p (x) R (x) dx

0

donde
p (x) : distancia del rectángulo...