GUIA1 Electromagnetismo

GUIA 1
ELECTROMAGNETISMO

Figura: Tornado y rayo, dos poderosos y devastadores fenómenos naturales, que aún no
revelan sus secretos a los científicos, a pesar de la tecnología de avanzada utilizadapara
estudiarlos. La fotografía fue tomada en el famoso “corredor de los tornados” en el medio-oeste
de Estados Unidos.

1) Calcule las derivadas direccionales de las siguientes funciones
en lospuntos indicados en las ecuaciones dadas:
r 3
4
a) f ( x, y ) = x + 2 x − 3 y 2 ; ( x0 , y 0 ) = (1,2) ; v = iˆ + ˆj
5
5
r
1 ˆ ˆ
2
2
b) f ( x, y ) = log x + y ; ( x0 , y 0 ) = (1,0) ; v =
( 2i + j )
5
r
1ˆ 2 ˆ
c) f ( x, y ) = e x cos(πy ) ; ( x0 , y 0 ) = (0,−1) ; v = −
i+
j
5
5
r
1 ˆ
3 ˆ
d) f ( x, y ) = xy 2 + x 3 y ; ( x0 , y 0 ) = (4,−2) ; v =
i+
j)
10
10
2) Calcule las derivadas direccionales delas siguientes funciones a lo largo de
los vectores unitarios en los puntos indicados, en las direcciones paralelas
al vector dado:
r
a) f ( x, y ) = x y ; ( x0 , y 0 ) = (e, e) ; d = 5iˆ + 12 ˆj

r
b)f ( x, y ) = e x + yz ; ( x0 , y 0 ) = (1,1,1) ; d = (1,−1,1)
c)

r
f ( x, y ) = xyz ; ( x0 , y 0 ) = (1,0,1) ; d = (1,0,−1)

3) El capitán Maurice tiene dificultades cerca del lado soleado deMercurio. La
temperatura del casco de la nave, cuando está en la posición (x,y,z), estará
dada por:
T ( x, y, z ) = exp( − x 2 − 2 y 2 − 3 z 2 ) , donde (x,y,z) están medidas en metros.
Actualmente está en(1,1,1).
a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la
temperatura?
b) Si la nave avanza a e8 m/seg ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura
si avanza en esa dirección?
c)Desafortunadamente, el metal del casco se fracturará si se enfría a una
tasa mayor que (14)1/2e2 grados/seg. Describa el conjunto de direcciones
posibles en las que puede avanzar sin que su nave sefracture.

4) Supongamos que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico
z = c − ax 2 − by 2 , donde a, b y c son constantes positivas, x e y son las
coordenadas este – oeste y norte – sur...