Guia10 Derivadas

MATEMÁTICAS I
GUÍA No. 10

LA DERIVADA

1. CÁLCULO DE DERIVADAS

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha
función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un
concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función
en un cierto intervalo, cuando el intervaloconsiderado para la variable independiente se toma
cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un
punto dado.
Definición: Si y=f(x) es una función definida en un intervalo I y x=a es un punto del
intervalo, entonces la derivada de f en el punto x=a, se simboliza f’(a) y se define como
f (a + h) − f (a )
.
f ´( a ) = lim
h →0
h
Reglas de derivación:
1) Si y =f(x) = xm, entonces f´(x)=mxm-1 .
2) Si y =f(x) = kg(x), entonces f´(x) = k(g´(x)).
3) Si u(x) y v(x) son funciones derivables, entonces (u(x)+v(x))´ = u´(x) + v´(x).
4) Si u(x) y v(x) son funciones derivables, entonces (u(x)v(x)´
) = u´(x)v(x) + u(x)v´(x)
5) Si u(x) y v(x) son funciones derivables, entonces (u(x) / v(x)´
.
) = u´(x)v(x) − u(x)v´(x)
2
v(x)

6) Si y = f ( g(x)) , entonces y´= f (g(x)) ´= f´( g(x)) g´(x).
2. EJERCICIOS DE DERIVADAS
1) Use la definición de derivada f ´( x) = lim
h →0

f ( x+ h) − f ( x)
, para obtener la derivada de las
h

siguientes funciones:
a) f ( x) = x + a

e) f ( x) = e2 x

b) f ( x) = 3 x + 1

f) f ( x) = x3 − x2

c) f ( x) =

1
x2

g) f ( x ) =

1

1
x +1

2) Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto dado:a)

f ( x) =

c) f ( x) =

4x 2 + 5x

b) f ( x) = x 2 + 4 x − 1 ; ( x = 1 ).

; ( x = 1 ).

4 x + x2
; ( x = 2 ).
x + 10

d) f ( x) = 4 x 2 ; ( f(x) = 1 ).
4+x

e) f(x) = ( 4x – x2 )2 ; ( f(x) = 9 ).

f) f ( x) =

4x
x − 16
2



; P  5,


20 
.
3 

3) Use las reglas de derivación que correspondan para obtener la derivada de las siguientes
funciones algebraicas:
a) f ( x) =

(a + x )m
(a − x)n

f) f ( x) =

(1 + x )
f ( x) =
(1 − x )

m n

b)

 ax − b 
g) f ( x) = 5 

 ax + b 

n m

 1 + x + x2 
c) f ( x) = 
2 
 1− x − x 

a−x
a+x

4

20

 bx + a 
h) f ( x) = 

 bx + a 

i) f ( x) =

d) f ( x) = x + x + x

(1 + x )
f ( x) =

3

3
3

 ax − b 


 ax + b 

ax 2 + bx + c
4

ax 2 − bx − c

m n

e)

m

1− x

j) f ( x ) = x + 3 x + 4 x

n

14) Use las reglas dederivación que correspondan para obtener la derivada de las siguientes
funciones logarítmicas:
 1+ x2 
b) f(x) = ln 

 1 - x2 




1 + x  
d) f(x) = log 2  log 3  log 4 
 
 1- x  


log 2 (x) + log 4 (x)
f) f(x) =
log 2 (x) − log 4 (x)

x+ x 
a) f(x) = log 3 
 x − x 



c) f(x) = x 3 lon(x 3 )
e) f(x) = log(x) + log(x) + log (x)
15)

Use las reglas de derivación quecorrespondan para obtener la derivada de las siguientes
funciones:
a) f(x) =

2x

2

3

3x

d) f(x) = 2ln( x )

2 x( x−3)

b) f(x) = e e

(

e) f(x) = 3 x e x − x

2

2

c) f(x) =

)

f) f(x) =

e x ( x− 2)
e x( x+ 2)

(x + e2x )
(x − e2x )

3. APLICACIONES DE LA DERIVADA
3.1 ANALISIS DE UNA FUNCIÓN
Definición : Decimos que x=a es un punto crítico de una función f(x), si f´(a) = 0 ó f´(a) noestá definido.
Definición: Decimos que una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b), si f´(x)>0 para
todo x∈(a,b).
Definición: Decimos que una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b), si f´(x)<0 para
todo x∈(a,b).
Definición: Decimos que en x=a habrá un punto de inflexión de la función f(x), si f´´(a) = 0.
El punto de inflexión será ( a, f(a) ).
Definición: Decimos que una funciónf(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo (a,b), si
f´´(x)<0 para todo x∈(a,b).
Definición: Decimos que una función f(x) es cóncava hacia arriba en un intervalo (a,b), si
f´´(x)>0 para todo x∈(a,b).
Nota: La concavidad de una función cambia en los puntos de inflexión.
Definición: En una función f(x) el punto crítico x=a representa un máximo, un mínimo, un
cambio de concavidad o un punto de...