Guia2

Ejercicios 2
Ecuaciones Diferenciales 9009
Reacciones simples, ley de enfriamiento de Newton, problemas de mezclas, otros.
1. Suponga que la poblaci´on P de bacterias en un cultivo al tiempo t cambia a una
raz´on proporcional a P 2 − P . Asuma que P 2 − P > 0.
a) Sea k la constante de proporcionalidad. Escriba una ecuaci´on diferencial para
P (t) y obtenga la soluci´on general.
b) Encuentre lasoluci´on si hay 1000 bacterias al tiempo t = 0 horas.
c) Determine la constante k suponiendo adem´as que hay 100 bacterias en t = 5
horas.
d) Determine lim P (t).
t→∞
2. En el caso de un proceso adiab´atico en que interviene un gas perfecto, la presi´on p
est´a relacionada con el volumen V a trav´esde la ecuaci´on
dp
= −
dV

cp
cV

p
,
V

en la que cp es el calor espec´ıfico del gas a presi´onconstante y cV es el calor espec´ıfico
a volumen constante. Resuelva la ecuaci´on para obtener la presi´on en funci´on del
volumen, suponiendo que la presi´on es de 4 libras por pulgada c´
ubica cuando el
volumen es de 1 pulgada c´
ubica.
3. Experimentos han demostrado que si u es la densidad de energia de un cuerpo negro
y T es su temperatura absoluta, entonces
du
u
= 4 ·
dT
T
Obtenga una expresi´ongeneral par la dependencia de u con respecto a T .
4. Obtenga una expresi´on general para el volumen V de un gas como funci´on de la
presi´on p si la velocidad de variaci´on del volumen con respecto a la presi´on es proporcional a −V /p2 .
5. Si el alimento y el espacio vital son ilimitados, alguna poblaciones aumentan a una
raz´on proporcional a la poblaci´on. Se calcula que la poblaci´on delmundo en 1900
era de 1600 millones de personas y que para 1950 hab´ıa aumentado a 2510 millones.
¿ Cu´al ser´a la poblaci´on del mundo en el a˜
no 2010, suponiendo que hay alimento y
espacio vital ilimitados?
6. Un cultivo bacteriano tiene una densidad de poblaci´on de 100 mil organismos por
pulgada cuadrada.Se observ´o que un cultivo que abarcaba un ´area de una pulgada
cuadrada a las 10:00 A.M. delmartes a aumnetado a 3 pulgadas cuadradas para el
medio d´ıa del jueves siguiente. ¿ Cu´antas bacterias habr´a en el cultivo a las 3:00
P.M. del domindo siguiente, suponiendo que la densidad de poblaci´on cambia a una
tasa proporcional a s´ı misma? ¿ Cu´antas bacterias habr´a el lunes a las 4:00 P.M.?
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7. La ley de enfriamiento de Newton se˜
nala que la tasa a la cual se enfr´ıa un cuerpoes
proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio que lo rodea.
Se coloca un objeto con una temperatura de 90 grados Fahrenheit en un medio con
una temperatura de 60 grados. Diez minutos despu´es, el objeto se ha enfriado a 80
grados Fahrenheit. ¿ Cu´al ser´a la temperatura del cuerpo despu´es de estar en este
ambiente durante 20 minutos? ¿ En cu´anto tiempo llegar´a a 65grados Fahrenheit la
temperatura del cuerpo?
8. Un term´ometro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura ambiente es de 70
grados Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos, el term´ometro registra 60 grados Fahrenheit
y, 5 minutos despu´es, registra 54 grados Fahrenheit. ¿ Cu´al es la temperatura del
exterior?
9. La polic´ıa descubre el cuerpo de un profesor de ecuaciones diferenciales. Pararesolver
el crimen es decisivo determinar cu´ando se cometi´o el homicidio. La forense llega
al medio d´ıa y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 30 grados
Celsius. Espera una hora y observa que la temperatura del cuerpo ha disminu´ıdo a 29
grados Celsius. Asimismo, observa que la temperatura de la habitaci´on es constante
a 27 grados Celsius. Suponiendo que la temperatura de lav´ıctima era normal en el
momento de su fallecimiento (37 grados Celsius), determine la hora en que se cometi´o
el crimen.
Indicaci´
on. Use las siguientes aproximaciones:
ln(2) = 0.69, ln(3) = 1.09 y
ln(10) = 2.30.
10. La vida media de uranio 238 es aproximadamente de 4.5 × 109 a˜
nos. ¿ Qu´e cantidad
de un bloque de 10 kilogramos de U-238 estar´a presente dentro de 1000 millones de
a˜
nos?
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