Guia4

Estructura de Materia 1
Curso de Verano 2012

Práctica 4
Fluidos ideales incompresibles

Problema 1. Flujos singulares
Los siguientes fluidos incompresibles e ideales fluyen de tal manera que su movimiento
puede ser considerado bidimensional (2D), es decir, que existe simetría de traslación en
una dirección que asociaremos con el eje z.
(i) Una corriente uniforme al infinito, de velocidadconstante en módulo U∞ que forma
un ángulo α con el eje x.
(ii) Una distribución lineal de fuentes o sumideros de caudal ±Q respectivamente.
(iii) Un vórtice de circulación Γ.
(iv) Un dipolo formado por una fuente y un sumidero de idéntico caudal (en módulo).
(v) Un dipolo formado por dos vórtices de circulación Γ iguales en módulo y opuestos
en sentido.
Para cada flujo determine:
i. el campo develocidades v(x, y),
ii. el rotor ω(x, y) = ∇ × v,
iii. la función de corriente ψ(x, y) y el gráfico de las líneas de corriente.
Problema 2. Flujos no singulares
Para las siguientes funciones de corriente (donde a, b, c y d son constantes),
(i) ψ(x, y) = ay,
(ii) ψ(x, y) = by 2 ,
(iii) ψ(x, y) = cxy,
(iv) ψ(x, y) = d(3x2 y − y 3 ),
determine:
i. el campo de velocidades v(x, y),
ii. los puntos deestancamiento (los puntos del plano donde v = 0).
iii. la vorticidad ω(x, y),
iii. el gráfico de las líneas de corriente.
1

Estructura de la Materia 1

Práctica 4: Fluidos ideales incompresibles

Problema 3. Potencial complejo
El movimiento de un fluido incompresible e irrotacional bidimensional puede ser estudiado bajo el formalismo del potencial complejo. La hipótesis de incompresibilidad conduce
a laexistencia de un potencial vector A que en el caso 2D se reduce a A = ψ(x, y)ˆ
z a
partir del cual se puede determinar el campo de velocidades. Por otro lado, de la condición de irrotacionalidad se sigue la existencia de una función escalar ϕ(x, y) tal que
v = ∇ϕ. Verifique que se cumple lo siguiente:
(i) ∇·v = ∇·(∇×A) = ∇·{∇×[ψ(x, y)ˆ
z ]} = 0, y por lo tanto, v(x, y) = ∇ψ(x, y)× zˆ.
(ii) lasfunciones ψ(x, y) y ϕ(x, y) son armónicas y satisfacen las condiciones de CauchyRiemann.
dW
dz

(iii)

∂W
= ∂W
∂x = −i ∂y donde el potencial complejo está definido como W (z) =
ϕ(x, y) + iψ(x, y), con z = z + iy.

(iv)

dW
dz

= v˜∗ donde v˜ = vx + ivy es la velocidad compleja.

Problema 4.
Calcule el potencial complejo de las configuraciones del problema 1.
Problema 5. Flujos producidos porsingularidades en presencia de contornos sólidos
Para las siguientes configuraciones de fluidos incompresibles e irrotacionales, calcule
el potencial complejo, el potencial de velocidades, la función de corriente, el campo
de velocidades y los puntos de estancamiento. Grafique cualitativamente las líneas de
corriente.
(i) Una fuente (sumidero) de caudal Q (−Q) ubicada a una distancia d de un planoinfinito.
√
(ii) Idem (a) pero a una distancia 2d de la intersección de dos planos semi-infinitos
que forman un ángulo π/2 entre ellos.
(iii) Idem (a) entre dos planos infinitos paralelos a la misma distancia d de cada uno
de ellos.
(iv) Un vórtice de circulación Γ > 0 a distancia d de un plano infinito.
(v) Un dipolo de intensidad µQ0 y ángulo α respecto al eje real (x) a distancia d de un
planoinfinito. Considere luego en particular el caso α = π (el dipolo apuntando
hacia el plano).
(vi) Un dipolo de intensidad µΓ0 y ángulo α a distancia d de un plano infinito.
Problema 6. Flujo alrededor de un cilindro
La superposición del flujo producido por un dipolo de intensidad µQ0 enfrentado a un
flujo uniforme al infinito, de velocidad O∞ x
ˆ, genera un flujo que corresponde exactamente
al flujo idealexterno de una corriente uniforme al infinito en presencia de un cilindro
sólido.
Curso de Verano 2012

2/7

Estructura de la Materia 1

Práctica 4: Fluidos ideales incompresibles

(i) Calcule el potencial complejo de la configuración.
(ii) Aplicando el teorema del círculo al problema del flujo uniforme frente al cilindro
de radio a, encuentre cuál debe ser el módulo de la intensidad del...