Guia5 Continuidad

Universidad de Talca.
Instituto de Matem´atica y F´ısica
Carrera: Ingenier´ıa Civil Industrial/ de Minas

Gu´ıa N◦ 5
4 deMayo de 2015
1. Calcule los siguientes l´ımites.
2x+1 4x
2x
1 x
limx→∞ 1 + 3x
3x+1
limx→∞ 2x+3
2x+1

(a) limx→∞
(b)
(c)(d) limx→∞

3x2 −5
3x2 +2x

3 2
x
5

2. Analize la continuidad de las siguientes funciones.
(a) f : R → R
f (x) =




sin(x−3)
x−3

if x = 3



5

if x = 3

(1)

(b) f :] − ∞, 1[→ R
 2
x cos





0
f (x) =




 x3

1
x

sin(x2 )

(c)f : R → R
f (x) =


 (x − π)π sin


0

if x < 0
if x = 0

(2)

if 0 < x < 1
1
x−π

if x = π
(3)
if x = π

3. Determinelos valores de a y b, de modo que las siguientes funciones sean continuas.
(a)


a ln(x + e2 )3 + b sin(4x)
if x < 0
2x




ax + 3
if x = 0
f (x) =



√


2 −1
 1+bx
if 0 < x < π
sin2 (x)

(4)

(b)

f (x) =











sin(ax)−sin(bx)
x

if x < 0

ax + 3

if x = 0

√
b 4x2 +x3
x

if 0 < x

(5)

4. Dada la funci´on f (x) = x5 + 2x − 7.Demuestre que hay un n´
umero c ∈ [2, 3], tal que
f (c) = 50.
5. Determine que tipo de discontinuidades tienen las siguientesfunciones.
(a)
f (x) =

(b) f (x) =

3x2 −2x−8
x2 +3x−10

1





7−16 x




7

1

1+16 x

if x = 0
(6)
if 0 = x