Guia5

Matem´
atica IV
Cuarta Gu´ıa
Integrales de L´ınea

´cnica
Universidad Te
Federico Santa Mar´ıa
´ tica
Departamento de Matema

Primer Semestre 2015

Contenidos
Integrales de l´ınea para campos vectoriales.

Ejercicios Resueltos
1. Sean

P (x, y) = (2x f (x) − 2x3 ) y 2 + 6x2 y
Q(x, y) = y f (x) + 2x3

donde f (x) es un polinomio de grado dos.
(a) Hallar f (x) de manera que
P (x, y)dx + Q(x, y) dy= 0
γ

sobre cualquier curva cerrada.
(b) Para la funci´
on encontrada en el partado (a) hallar
P (x, y)dx + Q(x, y) dy
β

donde β es cualquier curva que va desde A = (0, 0) a B = (2, 1).
Soluci´
on.
(a) Puesto que f (x) es un polinomio, sigue que tanto P (x, y) como Q(x, y) son polinomios en dos variables
y luego funciones de clase C 1 (R2 ). Luego, basta imponer que Qx (x, y) − Py (x, y) = 0para obtener lo
deseado. Haciendo esto, obtenemos
Qx − Py
⇒ f (x) − 4xf (x)

= y(f (x) − 4xf (x) + 4x3 ) = 0

∀y ∈ R

3

= −4x .

Derivando e igualando coeficientes se obtiene f (x) = x2 + 1/2.
(b) Por lo anterior, basta encontrar un potencial φ(x, y) tal que ∇φ = (P, Q). Haciendo esto, obtenemos
φ(x, y) = 2x3 + x2 y + y2 . Entonces
P (x, y)dx + Q(x, y) dy = φ(2, 1) − φ(0, 0) =
β

2. Sea D =
por

73.
4

(x, y) ∈ R2 : (x, y) = (0, 0) . Defina r = (x, y) y sea F(x, y) el campo vectorial definido en D
F(x, y) =

g (r)
g (r)
x,
y
r
r

donde g es una funci´
on real con derivada continua en todo R.
(a) Hallar una funci´
on potencial para F en D.
(b) Si F(x, y, z) =

3

2

3

2

x +xy
y +yx
√
,√
, 0 . Calcule el trabajo realizado por este campo a lo largo de la curvas
2
2
2
2
x +y
2

x +y
2

C1 ,intersecci´
on de 3x + 3y = 1 y z = 1 − x2 − y 2 y C2 , el segmento de recta que une el punto (2, 3, 0)
con el origen.
Soluci´
on.
(a) Notemos que r2 = x2 +y 2 y que al derivar de forma impl´ıcita se tiene rx = x/r y ry = y/r. Sea φ(r) = g(r),
entonces
x y
∇φ(r) = g (r)∇r = g (r)(rx , ry ) = g (r)
,
= F.
r r
Entonces, φ(r) = g(r) es una funci´
on potencial para F.

P´agina 1 de 6

Coordinaci´onMAT024

(b) Note que (x, y, z) = (0, 0, 0) el campo queda como
x

F(x, y, z) =

x2

+

y2

y

,

x2

+ y2

,0

,

el que posee la forma anterior y luego g(r) = r es un potencial para F. Sin embargo, para C1 no es posible
aplicar dicho potencial pues dicha curva encierra al origen. Para la segunda curva en tanto, s´ı es posible
aplicar esta idea como sigue
F · dr = g(2, 3, 0) − l´ım g(r) =
r→0

C2Para C1 usamos la parametrizaci´
on x =
luego

√1
3

cos t, y =

√1
3

√

4+9−0=

√

sen t y z = 23 . Con esto, F |C1 = (cos t, sen t, 0) y

1
1
(cos t, sen t, 0) · − √ sen t, √ cos t, 0
3
3
C1

F · dr =
C1

13.

dt = 0.

3. Calcule el valor de la integral de l´ınea

γ

x − x2 y − y 3
y + xy 2 + x3
dx +
dy,
2
2
x +y
x2 + y 2

donde γ es la elipse de ecuaci´
on 4x2 + 9y 2 = 1 recorrida en sentidoanti horario.
Soluci´
on
Note que para r = (x, y) = (0, 0) se tiene que
F (x, y)

=
=
=

x
y
− y, 2
+x
2
+y
x + y2
x
y
, 2
+ (−y, x)
2
2
x + y x + y2
x2

r
+ (−y, x).
r2

Definimos a F1 = rr2 y F2 = (−y, x) y a continuaci´on notamos que el primer campo posee rotor nulo y por lo
tanto las integrales de l´ınea para F1 son independientes de la trayectoria considerada (la integral ser´ıa nula si
lacurva no contuviera al origen). En tanto, el segundo campo no posee rotor nulo, pero su forma permite que
el c´
alculo de la integral de l´ınea sea sencilla. De esta forma
F · dr =
γ

F2 · dr,

F1 dr +
γ1

γ

donde γ1 es una curva apropiada que contiene al origen. Se elige γ1 = x2 + y 2 = 1/9. Las parametrizaciones
para cada curva son

Es claro que

γ1

γ1 : r(t)

=

(1/3 cos t, 1/3 sen t),

0 ≤ t ≤2π,

γ : r(t)

=

(1/2 cos t, 1/3 sen t),

0 ≤ t ≤ 2π.

F1 · dr = 0 y entonces
F · dr

F2 · dr

=

γ

γ
2π

(−1/3 sen t, 1/2 cos t) · (−1/2 sen t, 1/3 cos t) dt = π/3.

=
0

Se deja como ejercicio determinar la integral de l´ınea para F2 usando el Teorema de Green.

P´agina 2 de 6

4. Sean f ∈ C 2 (R), R ∈ R2 tal que fxx + fyy = 0 y v ∈ C 1 (R). Demuestre que para cualquier regi´on interior G...