GuiaAM1_U7_v0

Análisis Matemático I (2012) - Ingeniería Electrónica

Unidad 7: Análisis de funciones
Teoremas de valor medio

No olviden tener en cuenta
Tener un proyecto personal de aprendizaje, que implique autonomía, compromiso, dedicación y constancia en el estudio.
Tener un cuaderno o carpeta con las notas de la materia, tu producción de problemas
resueltos o encarados.
Tener tu propio resumen con losconceptos, ideas y técnicas que vas aprendiendo y
que vas a poder tener disponible para usar en parcialitos, parciales y finales.
Adquirir práctica en la lectura de textos y resultados matemáticos.
Manejar con soltura el GeoGebra para poder estudiar y trabajar con funciones.

Unidad 3: Análisis de funciones, límite, continuidad y teoremas del valor medio.
Concepto intuitivo de límite. Punto interior,aislado, exterior, frontera y de acumulación. Propiedades
del límite. Limites laterales. Álgebra de límites. Propiedades de infinitésimos. Funciones continuas en
un punto y en un intervalo. Discontinuidades. Propiedades de las funciones continuas. Relación entre
crecimiento y decrecimiento de funciones con el signo de la derivada primera. Estudio visual de funciones usando la línea de entrada yla pantalla gráfica de GeoGebra. Condición necesaria y condición
suficiente para existencia de extremos relativos en funciones derivables. Relación entre concavidad
y convexidad con el signo de la derivada segunda. Puntos de inflexión. Asíntotas. Problemas intra y
extra matemáticos que llevan a trabajar las ideas de valor medio. Análisis de las gráficas de las funciones. Teoremas de Bolzano, Rolle,Lagrange. Dedución del Teorema de Rolle a partir del Teorema
de Bolzano y del Teorema de Lagrange a partir del Teorema de Rolle.

Objetivos de esta unidad
1 Componer (y descomponer) funciones y manejar la regla de la cadena y las demás propiedades
de la derivación.
2 Comprender cómo funcionan las transformaciones que trasladan a los gráficos de las funciones
en las direcciones del eje x y del ejey y en cualquier otra dirección. Poder pensarlas como
composiciones de funciones.
3 Interpretar la información que dan la derivada primera y segunda de una función para analizar
las características de la función original.

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Análisis Matemático I (2012) - Ingeniería Electrónica

g(x)
4 Comprender cómo se comportan de las funciones de la forma f (x) = (x−a)
en un entorno
de x = a y cómo dadoslos polinomios P (x) y Q(x), se comporta una función de la forma
P (x)
R(x) = Q(x)
, en relación a los grados de P (x) y Q(x).

5 Comprender cómo plantear condiciones sobre límites y derivadas laterales para empalmar funciones suavemente.
6 Adquirir un entrenamiento visual y un repertorio de funciones que permita identificar fórmulas
con gráficos y gráficos con fórmulas. Comprender cómo dado ungráfico se puede determinar
qué funciones lo representan o ajustan mejor. Por ejemplo:

7 Manejar un “álgebra de gráficos” que permita anticipar la suma, el producto y el cociente de
gráficos de funciones.
8 Comprender cómo usar los teoremas de valor medio para deducir propiedades de las funciones.

Problema 1. ( ) Trabajen, este problema y el siguiente, inicialmente en la cabeza intentando
anticiparcómo serán las fórmulas de las distintas composiciones y sus gráficas. Luego escríbanlas en sus cuadernos/carpetas y finalmente resuélvanlo utilizando el GeoGebra. Si no obtienen
los mismos resultados analicen y averigüen por qué ocurre esa discrepancia.
Dadas las funciones f (x) = −x + 2, g(x) = x2 + 3x − 4 y h(x) = x4 − 2x2
a) Calculen las composiciones f (g(x)), g(f (x)), f (f (x)), g(g(x)), h(f(x)) y f (h(x)).
b) Para trabajar en las próximas dos preguntas inventen nuevos polinomios y compártanlos
con sus compañeros y docentes.
c) ¿Pueden deducir cuál será el orden del polinomio que resulte de hacer una composición
de dos polinomimos? ¿Qué resultado pueden conjeturar?
d) ¿Pueden establecer algun resultado que relacione las cantidades de raíces de las funciones con la cantidad de...