Guiamate

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICE-RECTORADO ACADEMICO
DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
AREA DE MATEMATICAS

GUIA DE MATEMATICAS I,
CAPITULO IV

Prof. Orlando Baisdem P´
erez

Puerto Ordaz, Mayo del 2010.

Cap´ıtulo 4

La Derivada

4.1

La Recta Tangente

on de la recta tangente con pendiente m
Definici´
on 4.1 Definici´
Si f est´a definida en un intervalo abierto que contienea c y adem´as existe el l´ımite
∆y
f (c + ∆x) − f (c)
= lim
=m
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
entonces, la recta que pasa por (c, f (c)) y cuenta con una pendiente m es la recta tangente
lim

a la gr´afica de f en el punto (c, f (c)).
Ejemplo 1 Encontrar la pendiente de la gr´afica de f (x) = 2x − 3 en el punto (2, 1)
limx→3 2x − 5 = 1
encontrar δ tal que |(2x − 5) − 1| < 0.01, siempre que 0 < |x − 3| < δSoluci´
on: Para encontrar la pendiente de f cuando c = 2, aplicamos la definici´on de la
pendiente de una recta tangente.

87

lim

∆x→0

f (2 + ∆x) − f (2)
=
∆x

[2(2 + ∆x) − 3] − [2(2) − 3]
∆x
4 + 2∆x − 3 − 4 + 3
= lim
∆x→0
∆x
2∆x
= lim
∆x→0 ∆x
= lim 2
lim

∆x→0

∆x→0

= 2

Figura 4.1: La pendiente de f en (2, 1) es m = 2

Ejemplo 2 Calcular las pendientes de las rectas tangentes a f (x) = x2 + 1en los puntos
(0, 1) y (−1, 2)

Soluci´
on: Sea (c, f (c)) un punto cualquiera de f . La pendiente de la recta tangente en ´el
se encuentra mediante:

88

[(2 + ∆x)2 + 1] − (c2 + 1)
lim
∆x→0
∆x
c2 + 2c(∆x) + (∆x)2 + 1 − c2 − 1
= lim
∆x→0
∆x
2
2c(∆x) + (∆x)
= lim
∆x→0
∆x
= lim (2c + ∆x)

f (c + ∆x) − f (c)
lim
=
∆x→0
∆x

∆x→0

= 2c

Figura 4.2: La pendiente de f en un punto cualquiera (c, f (c))es m = 2c

4.2

Derivada de una Funci´
on

Definici´
on 4.2 Definici´
on de la derivada de una funci´
on
La derivada de f en x viene dada por:
f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
siempre que exista ese l´ımite. Para todos los x para los que exista este l´ımite, f ’ es una
f (x) = lim

funci´on de x.

89

El proceso de calcular la derivada de una funci´on se llama derivaci´
on. Una funci´on es
derivable enx, si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si
es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.

Ejemplo 3 Calcular la derivada de f (x) = x3 + 2x

Soluci´
on:

f (x) =
=
=
=
=

f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
(x + ∆x)3 + 2(x + ∆x) − x3 + 2x
lim
∆x→0
∆x
3
2
(x + 3x ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 + 2∆x
lim
∆x→0
∆x
∆x[3x2 + 3x∆x + (∆x)2 + 2]
lim
∆x→0
∆x
2
lim [3x + 3x∆x+ (∆x) + 2]
lim

∆x→0
2

= 3x + 2

Ejemplo 4 Encontrar f (x) para f (x) =

√

x. Calcular luego la pendiente de la gr´afica de f

en los puntos (1, 1) y (4, 2). Analizar el comportamiento de f en (0, 0)

Soluci´
on:

90

f (x) =
=
=
=
=
=
=

4.3

f (x + ∆x) − f (x)
∆x
√
√
x + ∆x − x
lim
∆x→0
∆x
√
√
√
√
x + ∆x − x
x + ∆x + x
lim (
)( √
√ )
∆x→0
∆x
x + ∆x + x
(x + ∆x) − x
√
lim
√
∆x→0 ∆x( x + ∆x+
x)
∆x
√
lim
√
∆x→0 ∆x( x + ∆x +
x)
1
lim √
√
∆x→0 ( x + ∆x +
x)
1
√ ,x > 0
2 x
lim

∆x→0

Reglas B´
asicas de Derivaci´
on

Teorema 1 Regla de la contante
La derivada de una funci´on constante es 0. es decir, si c es un n´
umero real, entonces
d
[c] = 0
dx
Teorema 2 Regla de las potencias
Si n es un entero positivo, entonces
d n
x = nxn−1
dx
Ejemplo 5 Derivar y = x

91

Soluci´
on
dy
= 1x1−1 =1x0 = 1
dx
Ejemplo 6 Derivar y = x6

Soluci´
on
dy
= 6x6−1 = 6x5
dx
Teorema 3 Regla del m´
ultiplo constante
Si f es una funci´on derivable y c un n´
umero real, entonces cf tambi´en es derivable y
d
[cf (x)] = cf (x)
dx
Ejemplo 7 Derivar y =

4t2
5

Soluci´
on
dy
4
4 2
4
8
= [ t2 ] =
[t ] = (2t) = t
dt
5
5dt
5
5
Ejemplo 8 Derivar y =

2

1
√
3 2
x

Soluci´
on
5
1 2
1
dy
d 1 −2
=
[ x 3 ] = (− )x− 3= − 5
dx
dx 2
2 3
3x 3

Teorema 4 Las reglas de suma y diferencia
La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables f y g es derivable
92

s´ı. Adem´
as, la derivada de f + g (´o f − g) es igual a la suma (o diferencia) de las derivadas
de f y g.

d
[f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x)
dx
4

Ejemplo 9 Derivar f (x) = − x2 + 3x3 − 2x

Soluci´
on
f (x) = −2x3 + 9x2 − 2
Teorema 5...