guiaMecanicaClasica

Mario Cosenza

Mec´
anica Cl´
asica

Versi´on A-15

Mario Cosenza
Universidad de Los Andes
M´erida, Venezuela

Mec´anica Cl´asica
Versi´
on A-2015

c MMXV

a Claudia

Mi prop´
osito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo. Quiz´
as
nada hay en la naturaleza m´
as antiguo que el movimiento, respecto al cual los libros escritos
por fil´
osofos no son ni pocos ni peque˜nos; no obstante, he descubierto, experimentando, algunas
propiedades que merecen ser conocidas.

Galileo Galilei, Di´
alogos Sobre Dos Nuevas Ciencias.

F´ormulas vectoriales
Identidades
A · (B × C) = (A × B) · C = C · (A × B) = (C × A) · B = B · (C × A)

(1)

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)

(2)

(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C)

(3)

Derivadas de sumas
∇(f + g) = ∇f + ∇g(4)

∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B

(5)

∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B

(6)

Derivadas de productos
∇(f g) = f ∇g + g∇f

(7)

∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A

(8)

∇ · (f A) = f (∇ · A) + A · ∇f

(9)

∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)

(10)

∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f )

(11)

∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B

(12)

Derivadas segundas
∇ × (∇ ×A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A

(13)

∇ · (∇ × A) = 0

(14)

∇ × (∇f ) = 0

(15)

Teoremas integrales
b

(∇f ) · dl = f (b) − f (a)

(16)

Teorema de Gauss (divergencia)

(17)

a

(∇ · A) dV =
V

ˆ dS
A·n
S

ˆ dS =
(∇ × A) · n
S

(f ∇2 g − g∇2 f ) dV =
V

A · dl

Teorema de Stokes

(18)

ˆ dS
(f ∇g − g∇f ) · n

Teorema de Green

(19)

C

S

´Indice general
1. Ecuaciones de movimiento
1.1. Leyes de Newtony mec´anica de una part´ıcula . . . . . . .
1.2. Mec´
anica de un sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . .
1.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler. . . . . . . .
1.5. Principio de m´ınima acci´on y ecuaciones de Lagrange . . .
1.6. Propiedades de las ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . .
1.7. Ejemplos deecuaciones de Lagrange para varios sistemas
1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Leyes de conservaci´
on y simetr´ıas
2.1. Momento conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Conservaci´
on del momento lineal y homogeneidad del espacio
2.4. Conservaci´
on del momento angular e isotrop´ıa del espacio . .
2.5. Conservaci´
on de la energ´ıa y homogeneidad del tiempo . . . .
2.6. Teorema de Euler para la energ´ıa cin´etica . . . . . . . . . . .
2.7. Potenciales dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . . .
2.8.Sistemas integrables y sistemas ca´oticos. . . . . . . . . . . . .
2.9. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Fuerzas centrales
3.1. Problema de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Potencial efectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ecuaci´
on diferencial de la ´orbita. . . . . . . . . . . . .
3.4. Problema de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal. . . . . . . .
3.6. Estabilidadde ´
orbitas circulares y ´angulo de precesi´on.
3.7. Dispersi´
on en campo de fuerza central. . . . . . . . . .
3.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz. . . . . . . . . . . . .
3.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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