Guias algebra

´ Gu´ 2, Algebra ıa
Facultad de Ingenier´ y Ciencias Aplicadas, U. de Los Andes. ıa Tema: Teor´ de Conjuntos. ıa P1.- Sean A, B, C conjuntos, los tres distintos del conjunto vac´ Probar que: ıo. (a)(C ⊆ A ∪ B) ⇐⇒ (A \ B) ∩ C = C \ B. (b) A ⊆ C =⇒ (A \ B) = C \ [ B ∪ (C \ A) ]. (c) (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C. P2.- Sean A, B, C conjuntos, los tres distintos del conjunto vac´ Suponga que lasıo. siguientes afirmaciones son verdaderas: (a) (x ∈ A ∧ y ∈ B) ⇒ y ∈ A. (b) (x ∈ A ∨ y ∈ A) ⇒ y ∈ B. / / Demuestre que la proposici´n y ∈ B es verdadera. o / P3.- Sean A, B, C conjuntos, los tresdistintos del conjunto vac´ Pruebe que: ıo. [ A ⊆ B ⊆ C ] =⇒ [ C \ (B \ A) = A ∪ (C \ B) ]. utilizando las definiciones elemento a elemento. P4.- Sean U un conjunto universo y A ⊆ U un conjunto, todosdistintos del conjunto vac´ Pruebe que: ıo. (∀ V, W ⊆ U ) [V = W ] ⇐⇒ [ V ∩ A = W ∩ A ] ∧ [ V ∪ A = W ∪ A ]. P5.- (a) Sea U el conjunto universo, considere A, B conjuntos Demuestre que: [(Ac ∩ B) ∪ (A ∩ Bc ) = B] =⇒ [A = φ]. (b) Sean U un conjunto universo, y A, B, W ⊆ U conjuntos, todos distintos del conjunto vac´ Suponiendo que se cumple (A ∩ W ) ⊆ (B ∩ W ) y ıo. c ) ⊆ (B ∩ W c ), pruebe que A ⊆ B.(A ∩ W P6.- Sea U un conjunto universo y A, B, C ⊆ U conjuntos, todos distintos del conjunto vac´ Pruebe que: ıo. (A ∩ B ∩ C = φ) =⇒ (A \ B) ∪ (B \ C) ∪ (C \ A) = A ∪ B ∪ C. P7.- Sea U un conjuntouniverso y A ⊆ U un conjunto distinto del conjunto vac´ ıo. Se define un nuevo conjunto: M = {X ∈ P(U ) : A ∩ X = φ}. (a) Muestre que φ ∈ M y que Ac ∈ M . (b) Probar que A ∈ M ⇔ A = φ ⇔ M = P(U ). (c)Demostrar que (∀ X ∈ M )(∀ Y ∈ P(U ) ) X ∩ Y ∈ U . (d) Demostrar que [ (X ∈ M ) ∧ (Y ∈ M ) ] =⇒ [ (X \ Y ) ∪ (Y \ X) ] ∈ M . 1

P8.- Sean A, B, C conjuntos. Emplear los teoremas del ´lgebra deconjuntos para a probar que: (a) (A \ C) ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C. (b) (A \ B) ∩ (A \ C) = A \ (B ∪ C). (c) (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C. (d) A ⊆ B ⊆ C ⇒ C \ (B \ A) = A ∪ (C \ B). (e) B = (A ∩ B c ) ∪...