guias de farith mate I

C´lculo Diferencial e Integral - La recta real.
a

Farith J. Brice˜ o N.
n

Objetivos a cubrir

C´digo : MAT-CDI.1
o

• Conjunto de loa n´meros reales. Leyes de los n´meros reales.
u
u
• Conectores l´gicos. Proposiciones y demostraciones
o
• Resoluci´n de ecuaciones e inecuaciones.
o
• Valor absoluto. Resoluci´n de ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos.
o
Ejerciciosresueltos
Ejemplo 1 : Traduzca las siguientes expresiones verbales a expresiones num´ricas
e
1. La diferencia de un n´mero par y de un n´mero impar.
u
u
2. La quinta parte de la edad de Pedro sumada con el triple de la edad de Luis.
3. La edad de Pedro m´s la mitad de la edad de Luis es cien.
a
4. El triple de la suma de un n´mero y diez es igual a doce.
u
Soluci´n : 1. Sean
o
x : unn´mero par cualquiera
u
y : un n´mero impar cualquiera
u
Es conocido que los n´meros pares vienen expresados como x = 2n, con n ∈ Z, mientras que los n´meros
u
u
impares se expresan como y = 2m + 1 ´ como y = 2m − 1, con m ∈ Z. Es de hacer notar que n no tiene
o
que ser igual a m.
Luego, la expresi´n
o
“La diferencia de un n´mero par y de un n´mero impar”
u
u
se escribematem´ticamente como
a
2n − (2m − 1) ,

con

n, m ∈ Z,

que es equivalentemente a escribir
2k + 1,

donde

k =n−m∈Z

2. Sean
x : la edad de Pedro
y : la edad de Luis
Luego, la expresi´n
o
“La quinta parte de la edad de Pedro sumada con el triple de la edad de Luis”
se escribe matem´ticamente como
a

x
+ 3y.
5

3. Sean
x : la edad de Pedro
y : la edad de Luis
1

Luego, laexpresi´n
o
“La edad de Pedro m´s la mitad de la edad de Luis es cien”
a
se escribe matem´ticamente como
a

y
= 100.
2

x+
4. Sean

x : un n´mero cualquiera
u
Luego, la expresi´n
o
“El triple de la suma de un n´mero y diez es igual a doce”
u
se escribe matem´ticamente como
a
3 (x + 10) = 12.

Ejemplo 2 : Simbolizar las siguientes proposiciones
1. “5 no es primo o no es impar”.2. “Si 2 + 3 < 6 entonces 2 < 3”.
3. “4 es divisible por 2 si y solo si 4 es par”.
4. “3 es primo y 5 es impar o primo”.
5. “Francisco Sanchez es nadador o es tenista”.
Soluci´n : 1. Sean
o
p : 5 es un n´mero primo
u
q : 5 es un n´mero impar
u
Luego, la proposici´n
o
“5 no es primo o no es impar”
se simboliza por
p ∨ q.
2. Sean
p: 2+3 b2 ,
con lo que concluimos que si a < 0, b <0 y a < b, entonces a2 > b2 .
√
Ejemplo 4 : El n´mero
u
ab se llama la media geom´trica de dos n´meros positivos a y b. Pruebe que
e
u
√
a0

q : b>0

r : a1
2x2 + 1
Soluci´n : Tenemos
o
x2 + 4x − 5 − 2x2 + 1
x2 + 4x − 5
x2 + 4x − 5
4x − 6 − x2
> 1 =⇒
− 1 > 0 =⇒
> 0 =⇒
>0
2x2 + 1
2x2 + 1
2x2 + 1
2x2 + 1
Buscamos la ra´
ıces de la expresi´n del numerador y la expresi´ndel denominador
o
o
5

4x − 6 −

2x2

x2

−4 ±
= 0 =⇒ x =
0±

√
−4 ± 16 − 24
=
=⇒ ra´ imaginaria
ız
2 (−1)

(4)2 − 4 (−1) (−6)
2 (−1)

(0)2 − 4 (2) (1)

+ 1 = 0 =⇒ x =

2 (4)

√
± −8
=
=⇒ ra´ imaginaria
ız
2 (−1)

Estudiamos el signo
(−∞, ∞)
4x − 6 − x2

−

2x2 + 1

+
−

Luego la desigualdad no tiene soluci´n.
o
Ejemplo 7 : Hallar el conjuntosoluci´n de
o
x+2
x
≤
x−5
x+3
Soluci´n : Tenemos
o
x
x+2
x
(x + 2) (x + 3) − x (x − 5)
10x + 6
x+2
≤
=⇒
−
≤ 0 =⇒
≤ 0 =⇒
≤0
x−5
x+3
x−5 x+3
(x − 5) (x + 3)
(x − 5) (x + 3)
Buscamos la ra´
ıces de la expresi´n del numerador y la expresi´n del denominador
o
o
10x + 6 = 0

=⇒

(x − 5) (x + 3) = 0

x=−

3
5

=⇒

x=5

x = −3

y

Estudiamos el signo
(−∞, −3)−3, −

3
5

3
− ,5
5

(5, ∞)

10x + 6

−

−

+

+

x−3

−

+

+

+

x+5

−

−

−

+

−

+

−

+

Luego la soluci´n es
o
3
− ,5
5

x ∈ (−∞, −3)

Ejemplo 8 : Hallar el conjunto soluci´n de
o
x2 + x + 1
0, b ∈ R y x < y, entonces mx + b < my + b.
15. Demuestre que si m < 0, b ∈ R y x < y, entonces mx + b > my + b.
16. Demuestre que...