Guias De Los Numeros Naturales

CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA NUMÉRICO < N, +, ∙>

Elementos primitivos (E)
E1: Un conjunto, al que denominaremos N
E2: Un elemento, al que denominamos 1.
E3: Una función, la cual denotamos conσ “siguiente de” o “sucesor de”

Axiomas de Peano (A)
A1: El elemento 1 pertenece al conjuntoN, es decir, 1∈ N
A2: Todo número natural en N tiene un único sucesor σ(n) que también pertenece a N,es decir, ∀n∈N,∃σ(n)∈N
A3: 1 no es sucesor de ningún número natural, es decir 1≠ σ(n) ∀n∈N
A4: Si dos sucesores son iguales, sus antecesores son iguales, es decir,
σ(n)= σ(m) n=m
A5: Sea M⊆ Nun conjunto de números naturales. Si se cumple que:
i) 1∈ M
ii) Si k∈M entonces σ(k) ∈M
Entonces M= N. Este último axioma se conoce como Principio de Inducción Matemática (PIM)

Principiodel Buen Orden (PBO)
Sea S ⊆ N un conjunto no vacío de números naturales. Entonces existe un elemento m de modo que es menor que todos los demás elementos de S. Es decir:
S ⊆ N, S≠ϕ ∃m∈S/ m<a,∀a∈S
Al elemento m se le conoce como mínimo de S.
El conjunto σ (N)
Este conjunto está compuesto por los números que sean sucesores de todos los números naturales. En los tres primeros teoremas vamosa demostrar algunas propiedades del conjunto N-σ(N)
Teorema 1.1
Sea M⊆N. Si M≠ϕ entonces M-σ(M)≠ϕ. Es decir, todos los subconjuntos de números naturales tiene un elemento que es menor que losdemás: un mínimo.
Teorema 1.2
El conjunto N-σ(N) tiene un único elemento. Debemos demostrar entonces existencia y unicidad de dicho elemento.
Teorema 1.3
∀n∈N Se tiene que n≠σ(n)
Definición de Adiciónen N
Dados dos números a y b que pertenecen a N, definimos la suma de a y b como el número a+b, bajo las siguientes condiciones:
i) a+1=σ(a)
ii) a+σb=σa+b=a+b+1
Teorema 1.4
La adición enN es binaria, es decir, para a, n∈N tenemos que a+n∈N
Teorema 1.5
La adición es asociativa en N, es decir, a+b+n=a+b+n ∀a,b,n∈N
De los teoremas 1.4 y 1.5 concluimos que el conjunto < N,...