guias preu

Departamento de Matem´ tica
a
Luis Arancibia M.
Matem´ tica P.S.U.
a
Ano 2010
˜

Gu´a # 9
ı

Funci´ n lineal y lineal af´n
o
ı
Preliminares
1. Funci´ n Lineal Las consideraremos en I sin embargo lo presentado es v´ lido en cualquier conjunto:
o
R,
a
f :I
R −→ I
R
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (λx) = λf (x)
La gr´ fica de esta funci´ n en I × I = I 2 corresponde a una linearecta, que pasa obligadamente por el origen de
a
o
R
R
R
coordenadas, es decir, por el punto O(0, 0).
2. Funci´ n Lineal Af´n. Su gr´ fica es tambi´ n una recta en I 2 , pero no est´ obligada a pasar por O(0, 0)
o
ı
a
e
R
a
En I 2 la funci´ n lineal tiene forma f (x) = mx, donde m es cualquier valor real, ∞ no es un n´ mero real.
R
o
u
La funci´ n lineal afin tiene la forma f (x) =mx + n, donde m y n son n´ meros reales cualesquiera. Si n = 0, entonces
o
u
la funci´ n es lineal.
o
En la geometr´a euclidiana, la unica que por el momento conoces, se dice que una recta es el lugar geom´ trico de un punto
ı
´
e
que se mueve en un plano sin que se ejerza fuerza alguna sobre el.
Esta idea se apoya actualmente en el concepto de pendiente o inclinaci´ n y tambi´ n en el deraz´ n de cambio, que por el momento
o
e
o
nos ser´ n equivalentes, con otras funciones hay diferencias sustanciales entre uno y otro.
a
Diremos que la pendiente m est´ dada por el cociente entre lo que sube o baja un punto al desplazarse en un plano, mientras
a
avanza. La informaci´ n dada est´ llena de convenciones, pues si nuestro plano est´ colocado horizontalmente, en parte alguna
oa
a
sube o baja y tampoco podemos decir que avanza o retrocede.

baja
←−
−

•Q

sube
−→
−

sube
−→
−

En este gr´ fico considerarmos las convenciones
a

avanza
−−→
−−
retrocede
←− −−
−−−
P • avanza
−−→
−−

Si consideramos un punto cualquiera en el plano, de coordenadas (x, y), el cociente entre lo que sube o baja mientras avanza
respecto a los puntos P y Q de lafigura, debe permanecer constante, d´ ndose as´ las condiciones del teorema de Thales
a
ı
•
Q
•
•

Si tenemos que las coordenadas de P son (−2, −3) y las de
Q son (3, 4), entonces la funci´ n est´ dada por:
o
a
4 −− 3
(x + 2) − 3
y=
3 −− 2
=

P•

7
(x + 2) − 3
5

= 1, 4x + 2, 8 − 3
= 1, 4x − 0, 2
•

´
MATEMATICA P.S.U.

INSTITUTO NACIONAL

Nos interesa ahora trabajarcon sistemas de ecuaciones de primer grado.
Una ecuaci´ n de primer grado en dos variables tiene la forma Ax + By + C = 0 o se reduce a esta forma con alg´ n artificio
o
u
algebraico. La funci´ n de primer grado (lineal y lineal af´n) anterior la podemos expresar como una ecuaci´ n de primer grado en
o
ı
o
dos variables del siguiente modo:
Como y = f (x) = mx + n y m es un cociente, salvopara las rectas paralelas al eje y, las cuales no son funciones, podemos
r
r
ı
o
hacer que m sea igual a , dejando entonces as´ la ecuaci´ n y = x + n, al aplicar los teoremas de cancelatividad nos deja que
s
s
rx − sy + ns = 0, la forma que necesitamos.
De la forma Ax + By + C = 0, tambi´ n podemos llegar a y =
e

−A
−C
x+
, que es la forma de la funci´ n.
o
B
B

Un sistema loconforman dos o m´ s ecuaciones o dos o m´ s rectas y la soluci´ n al sistema est´ dado por los puntos comunes
a
a
o
a
a las rectas o los pares (x, y) que satisfacen a ambas ecuaciones, en caso de ser dos o donde se intersectan todas las rectas del
sistema.
Consideremos el siguiente sistema conformado por dos rectas:
3x − 2y + 5
4x + y − 3

=0
=0

Para obtener los pares (x, y) hayvarios m´ todos
e
Los veremos en seguida de modo te´ rico, es decir, de modo
o
general.

Por el momento trabajaremos este ejemplo:

3x − 2y + 5
4x + y − 3

=0
=0

/∗ 2

3x − 2y + 5
8x + 2y − 6

=0
=0

+

11x − 1

=0

+1

11x = 1

x=

/∗

1
11

•

1
11

Luego, haciendo los reemplazos adecuados, tendremos que
29
y=
11

El m´ todo empleado se...