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OSO

´Indice general
1.
2.
3.

4.

Introducci´on y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prueba de autodiagn´ostico . .. . . . . . . . . . . . . . .
Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.
Ficha 1: Ampliaci´on del conjunto de los n´
umeros
reales: el conjunto de los n´
umeros complejos .
3.2.
Ficha 2: Operaciones con n´
umeros complejos
en forma bin´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.
Ficha 3: Representaci´on en el plano de un
n´
umero complejo . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
3.4.
Ficha 4: Distintas formas de expresar un n´
umero
complejo: forma polar y forma trigonom´etrica
3.5.
Ficha 5: Operaciones de n´
umeros complejos
en forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prueba de autoevaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
5
6
6
15
24
32

3950
51
´Indice alfab´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2

Ma Paz Peinado Cros

1.

Curso 0 Matem´aticas

Introducci´
on y objetivos

En nuestra vida cotidiana, estamos acostumbrados a operar
con n´
umeros reales, y no encontramos aparentemente la necesidad ni la utilidad de los n´
umeros complejos. Sin embrago, son
muy u
´tiles en nuestro mundoactual en el que la ciencia y la
t´ecnica est´an muy presentes: en el electromagnetismo, la hidrodin´amica, la electrotecnia y otros campos de la ingenier´ıa los
n´
umeros complejos son una potente herramienta de c´alculo. As´ı
grandes obras de la ingenier´ıa: centrales el´ectricas, redes de distribuci´on, parques e´olicos..., necesitan los n´
umeros complejos
para su funcionamiento
Los n´umeros complejos nacieron de la necesidad de encontrar
soluciones a ecuaciones en las que aparecen ra´ıces cuadradas de
n´
umeros negativos. En el conjunto de los n´
umeros reales no existe ning´
un n´
umero que√al elevarlo
al cuadrado nos de -1, es
√
decir no hay soluci´on a −1, −2... .Ya en el siglo I, Her´on
de Alejandr´ıa se top´o con este tipo de ra´ıces que no supo interpretar. En els. XVI, Cardano al resolver un problema lleg´o a
dos soluciones complejas y decidi´o que eran n´
umeros sin sentido,
imaginarios. Y fue Gauss en el siglo XIX, quien di´o sentido a los
n´
umeros complejos.
√
√
√
Teniendo en cuenta que a = −a · −1 el problema se
centr´o en encontrar un n´
umero
que al elevarlo al cuadrado sea
√
igual a -1. Este n´
umero, −1, fue designado en 1777 porel
matem´atico suizo Euler con la letra i (imaginario) y llamado
unidad imaginaria.
Los contenidos de este tema son necesarios para el primer
curso de cualquier Ingenier´ıa o carrera de ciencias.
Objetivos
Manejar la forma bin´omica de los n´
umeros complejos y sus
operaciones.
3

Ma Paz Peinado Cros

Curso 0 Matem´aticas

Representar geom´etricamente los n´
umeros complejos en elplano.
Conocer y utilizar la relaci´on entre la forma bin´omica y la
forma polar de los n´
umeros complejos.
Manejar la forma polar de los n´
umeros complejos y sus
operaciones.
Utilizar la f´ormula de Moivre para calcular sen nα y cos nα.
Calcular ra´ıces n-´esimas de n´
umero complejos.

4

Ma Paz Peinado Cros

2.

Curso 0 Matem´aticas

Prueba de autodiagn´
ostico
Haga eltest siguiente para evaluar su nivel de conocimientos.
Verdadero Falso

i23 = −i

Verdadero Falso

(2 − i) − (1 − 3i) = 1 + 2i

Verdadero Falso

(1 − i) · (2 + 3i) = 5 + 3i

Verdadero Falso

−10 − 4i
= 3 + 7i
−1 + i

Verdadero Falso

−1 + i = 21350

Verdadero Falso

21800 = −2i

Verdadero Falso

2600 · 31200 = −31800

Verdadero Falso

(2200 )3 = 8600

Verdadero...