Gutithesis

Existencia y estabilidad de soluciones periódicas
en ecuaciones con singularidades

Alexánder Gutiérrez Gutiérrez

Universidad de Granada
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemática Aplicada
Granada
2012

Existencia y estabilidad de soluciones periódicas en ecuaciones
con singularidades
Alexánder Gutiérrez G.

Disertación presentada en sesión pública el 21 de Junio de 2012,
en el Salón deGrados de la Facultad de Ciencias de la Universidad de
Granada, para optar a el título de Doctor en Ciencias Matemáticas por
la Universidad de Granada.

Director: Dr. D. Pedro José Torres Villarroya

Jurados, Prof. Drs. D.:
Rafael Ortega Ríos (U. de Granada)
Daniel Franco Leis (U. Nacional de Educación a Distancia)
Carlos Escudero Liebana (U. Autónoma de Madrid)
Rogerio Martins (U. Nova de Lisboa)Antonio Jesús Ureña (U. de Granada)

Índice general
1. Introducción

1

2. Preliminares

7

2.1. Teoría del Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1. Grado en dimensión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.2. Grado en dimensión infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3. Grado de Coincidencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Índice de puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Estabilidad e índice de soluciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Índice y espacio de funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 24
2.5. Sub-super soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Soluciones periódicas de la ecuación de Liénard con una o dos singularidades débiles 29
3.1. Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Demostración del resultado principal de este Capítulo. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33
3.3. Soluciones periódicas asintóticamente estables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. Ejemplos y comparación de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Bifurcación de nodo-silla en un MEMS electrostático canónico no autónomo

41

4.1. Una ecuación singular equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Cotas a priori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3. Demostración de nuestros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1. Resultado de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2. Resultado de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 50
4.4. Aplicación al modelo original de MEMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ÍNDICE GENERAL

iv

5. La ecuación de Lazer-Solimini con retraso dependiente del estado

55

5.1. Cotas a priori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2. Demostración de los resultados principales de este Capítulo. . . . . . . . . . . . .. . . 60
5.3. Demostración alternativa de los resultados principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Comentarios finales

64

Bibliografía

67

Índice alfabético

74

Índice de figuras
2.1.1.Valores posibles del Grado en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.1.2.Ilustración del número de vueltas (θ(b) − θ(a)) .
2

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10

2.2.1.Valores de índice topológico en el caso unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1.En blanco la región D y en tonos grises el exterior de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1.Regiones donde se satisfacen las condiciones (3.4.2), (3.0.2), para el ejemplo 3.4.1.

. 38

3.4.2.Para el ejemplo 3.4.2 : (a) Comparación (3.4.2) con (3.0.2). (b) Intervalo [l 1 , l...