Guía Algebra Vectorial

Universidad Técnica Federico Santa María

ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIÓN Sea V un conjunto no vacío y sea K un cuerpo (los cuerpos que
consideraremos en este curso serán R ó C). Supongamos que en V se han definido dos
operaciones, que llamaremos adición y producto por escalar, del siguiente modo:
La adición toma dos elementos de V , llamésmoslos u y v, y mediante la operación
los lleva aun elemento w ∈ V con w = u + v.
El producto por escalar toma un elemento α del cuerpo K y un u ∈ V , y mediante
la operación los lleva a un elemento w ∈ V con w = α · u
Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial sobre K si y solamente si las operaciones satisfacen las siguientes propiedades:
1. u + v = v + u,

∀ u, v ∈ V

2. u + (v + w) = (u + v) + w,

∀ u, v, w ∈ V

3. ∃ 0V ∈ V talque u + 0V = u, ∀ u ∈ V
4. ∀ u ∈ V,

∃ (−u) ∈ V tal que u + (−u) = 0V

5. α · (u + v) = α · u + α · v,

∀ u, v ∈ V, ∀ α ∈ K

6. (α + β) · u = α · u + β · u, ∀ u ∈ V,
7. (αβ) · u = α · (β · u),
8. 1 · u = u,

∀ α, β ∈ K

∀ u ∈ V, ∀ α, β ∈ K

∀u∈V

Los elementos de V se llaman vectores y los del cuerpo K se llaman escalares.
EJEMPLOS
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1. (R , +, ·) es un espacio vectorialsobre R, con las siguientes operaciones:
si u, v ∈ R2 , con u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) y α ∈ R definimos
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 ) y α · u = (αu1 , αu2 ).
Este espacio vectorial se identifica, geométricamente, con el plano cartesiano, y sus elementos son
los vectores en (R2 , +, ·).

1

2. (R3 , +, ·) es un espacio vectorial sobre R, con las siguientes operaciones:
si u, v ∈ R3 , conu = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) y α ∈ R definimos
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ) y α · u = (αu1 , αu2 , αu3 ).
Este espacio vectorial se identifica, geométricamente, con el espacio cartesiano, y sus elementos son
los vectores en (R3 , +, ·).
3. La generalización (Rn , +, ·) es un espacio vectorial sobre R, con las siguientes operaciones:
si u, v ∈ Rn , con u = (u1 , u2 , . . ., un ), v = (v1 , v2 , . . . , vn ) y α ∈ R definimos u + v = (u1 +
v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn ) y α · u = (αu1 , αu2 , . . . , αun ).
4. (C2 , +, ·) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones:
si u, v ∈ C2 , con u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) y α ∈ C definimos
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 ) y α · u = (αu1 , αu2 ).
Debe tenerse presente que, en este caso, todos losnúmeros involucrados son números complejos,
por lo cual las operaciones mencionadas son entre elementos en C.
5. (C3 , +, ·) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones:
si u, v ∈ C3 , con u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) y α ∈ C definimos
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ) y α · u = (αu1 , αu2 , αu3 ).
Análogamente, las operaciones se realizan entre númeroscomplejos.
6. La generalización (Cn , +, ·) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones:
si u, v ∈ Cn , con u = (u1 , u2 , . . . , un ), v = (v1 , v2 , . . . , vn ) y α ∈ C definimos u + v = (u1 +
v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn ) y α · u = (αu1 , αu2 , . . . , αun ).
7. Si n = 1, en el ejemplo 3. vemos que (R, +, ·) es un espacio vectorial sobre R y si n = 1, en el
ejemplo 6. vemosque (C, +, ·) es un espacio vectorial sobre C. De esta forma, notamos que tanto
R como C tienen estructura de cuerpo y de espacio vectorial sobre si mismos.
8. Consideremos el conjunto
Rn [x] = {p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , ai ∈ R, i = 0, . . . , n}, es decir, Rn [x] es el conjunto
de los polinomios con coeficientes reales en una variable real de grado menor o igual a n(incluyendo
al polinomio nulo).
(Rn [x], +, ·) es un espacio vectorial sobre R con la adición y el producto por escalar habitual de
polinomios, vale decir, si
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn ,
y
q(x)

=

(p + q)(x)
(αp)(x)

b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn xn ,

entonces

(a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + . . . + (an + bn )xn

= p(x) + q(x)

=

=

= αa0 + αa1 x +...