Guía de actividades fractales

Páginas: 15 (3736 palabras) Publicado: 12 de agosto de 2015
GEOMETRÍA III
IES N° 9-011 Del Atuel
Profesorado para la ES de Matemática
Prof. Viñolo Sergio Damián

Geometría Fractal
ACTIVIDAD 1:
EL CONJUNTO DE CANTOR
Cantor fue un matemático alemán cuyo trabajo se orientó hacia la fundamentación rigurosa de la matemática, actualmente su obra es conocida como la Teoría de conjuntos. En 1883 publicó el famoso CONJUNTO DE CANTOR, el cual presentapropiedades paradójicas de las cuales algunas observaremos.
Su definición es muy sencilla: se toma un segmento de determinada longitud (por ejemplo el intervalo [0; 1] de la recta real) y se divide en tres subsegmentos de igual longitud (existen variantes), se suprime el segmento central y el proceso se repite con los dos nuevos segmentos resultantes. El resultado de iterar este proceso infinitas veces(paso al límite) es el conjunto de Cantor.
a. Para un segmento de longitud 13,5 cm, inicie la construcción del conjunto de Cantor, con tres iteraciones como mínimo de subdivisiones de segmentos.
b. Tabule sus observaciones por etapa del número de subsegmentos y su longitud.
c. Observe su construcción y responda:
¿qué ocurre con la longitud de los subsegmentos?
¿qué ocurre con la cantidad desubsegmentos?
¿Tiene elementos el conjunto de Cantor o se trata de un conjunto vacío?
Demuestre el siguiente Teorema: “Sea f la función longitud en IR, C el conjunto de Cantor de tercio medio y Cc el complemento de C, f(C) = 0.
Así es que, una de las propiedades paradójicas de este conjunto es que:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d. Como ya se dijo no es necesario que el Conjunto de Cantor sea de “tercios medios”, proponga y construya una alternativa. Verifique que se cumpla la propiedad antes señalada.
e. Otra versión del conjunto de Cantor es en el plano, y se parte de un cuadrado de determinada longitud de sus lados y se procede subdividiendo alcuadrado en otros cuadrados de menos área. Muestre su construcción y tabule según las etapas el número de cuadrados, su área y perímetro. ¿Cómo traduciría la paradójica propiedad para este conjunto en el plano?


EL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
El TRIÁNGULO DE SIERPINSKI fue introducido en 1916 por el matemático polaco Maclaw Sierpinski
La construcción clásica de este triángulo es la siguiente:Consideramos una región triangular, la cual para simplificar suponemos delimitada por un triángulo equilátero de lado 1. Dividimos la región en cuatro regiones menores de igual área uniendo los puntos medios de los lados del triángulo original y, después, eliminamos el triángulo central. En cada triángulo restante repetimos el proceso de división-eliminación descrito para el primer triángulo. Elresultado de iterar este proceso infinitas veces (paso al límite) es el Triángulo de Sierpinski.
a. Dibuja sobre una hoja de papel un triángulo equilátero de 16 cm de lado y sobre este inicie la construcción del triángulo de Sierpinski recortando los triángulos que debe eliminar.
b. Tabule por etapas el número de triángulos, la longitud de la base y su respectiva altura, el perímetro y área. Expreseestas observaciones para una etapa cualquiera “n”.
c. Demuestre que el área de este triángulo es nula, y entonces: ¿Qué relación encuentra entre esta construcción y la del conjunto de Cantor?
d. Otra manera interesante de obtener una imagen del triángulo de Sierpinski, es considerar el triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia. Curiosamente, si marcamos de color negro cada número impar ymarcamos de color blanco cada número par, la figura obtenida se ve como el triángulo de Sierpinski. Además, considerando más filas en el triángulo de Pascal y considerándolo módulo 2 (colocamos un 0 donde hay un número par y un 1 donde hay un número impar), obtenemos algo bastante semejante al triángulo de Sierpinski. Verifique la propuesta.

INTRODUCCIÓN:
UN CAMBIO DE PARADIGMA









Los...
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