guía de ecuaciones

GUIA DE MATERIAL Y EJERCICIOS PARA
TRABAJAR CON
ECUACIONES.

MARIA LUCIA BRIONES PODADERA
PROFESORA DE MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE

1

ECUACIONES.
Las relaciones que se formulan entre los números pueden ser verdaderas o falsas.
7 · 9 + 8 = 65 es un enunciado falso. En cambio 7 · 9 + 2 = 65 es uno verdadero.
Veamos como se comporta un enunciado con una variable, cuando estaadopta
diferentes valores del conjunto N de los números Naturales ( 1, 2, 3, 4, 5, 6,...........)
Sea el enunciado 2x + 8 = 14
Si a x le vamos dando los valores mencionados, tendríamos:
Para x = 1 entonces 2 · 1 + 8 = 14 es falso
Para x = 2
“
2 · 2 + 8 = 14 “ “
Para x = 3
“
2 · 3 + 8 = 14 es verdadero
Para x = 4
“
2 · 4 + 8 = 14 es falso
Para x = 5
“
2 · 5 + 8 = 14 “ “ etc, etc.
Laigualdad 2x + 8 = 14, que es verdadera sólo si x vale 3, es una ECUACIÓN.
Los valores de la variable que hacen la igualdad verdadera, se llaman soluciones
de la ecuación.
Definición.Ecuación: es una igualdad que es verdadera para un número limitado del conjunto
de valores que pueda tener la variable
Identidad: ¿Cuánto es 8x – 5x? El enunciado 8x – 5x = 3x es verdadero para
todos los valoresque pueda tener la variable x. Tal enunciado es una IDENTIDAD.
Definición:
Identidad: es una igualdad que es verdadera para todo el conjunto de valores que
pueda adoptar la variable.
Como resolver una ecuación: Resolver una ecuación es determinar los valores de la
variable que la “satisfacen” es decir, que la convierten en una verdadera igualdad.
La variable misma es la incógnita de laecuación, porque sus valores que satisfacen
la ecuación, se desconocen inicialmente.
A veces las ecuaciones pueden resolverse mentalmente. En x + 6 = 21, la solución
es x = 15, porque nos damos cuenta de inmediato que 15 + 6 = 21.
Pero hay casos en que la solución no se aprecia a simple vista, por ej. 5x + 6 = 41
Ensayando los valores 0, 1, 2, 3,......., después de 8 ensayos daríamos con la soluciónx = 7 . Pero aplicando las propiedades de las operaciones y de la igualdad tenemos
un método racional seguro para obtener las soluciones.
I ejemplo: Resolver la ecuación 5x + 6 = 41
a)
5x + 6 = 41
6 = 6 propiedad refleja
( 5x + 6) – 6 = 41 – 6 resté miembro a miembro (prop. Unif
5x = 35
5 = 5 propiedad refleja
5x: 5 = 35 : 5 prop. Uniforme de la división exacta
x = 7
2

b) El métodopuede exponerse más brevemente así:
5x + 6 = 41 Resto la igualdad 6 = 6 ( p uniforme de la resta ) Queda
5x = 35 Divido esta igualdad por la igualdad 5 = 5. Queda
x = 7 ( Apliqué la propiedad uniforme de la división exacta )

II ejemplo.- Resolver la ecuación 8x – 3 = 69
Solución: Conviene calcular primero el valor de 8x
8x – 3 = 69 Sumo la igualdad 3 = 3 (prop uniforme de la suma) Queda8x
= 72 Divido esta igualdad por la igualdad 8 = 8 Queda
x = 9
Comprobación: Una ecuación siempre puede verificarse, reemplazando x por el
valor numérico obtenido y resulta en el primer miembro el mismo
número que en el segundo.
8 · 9 – 3 = 69
72 - 3 = 69
69 = 69
Cuestionario.
Calcula mentalmente que valor debe tener la variable para que los enunciados que
siguen sean verdaderos, o sea,resuelve estas ecuaciones.
1

2

3

4

5

x + 5 = 14

x–3= 1

x+3 = 4

9 = 3+x

5 = x–8

x + 7 = 19

x–7= 4

x–6 = 9

0 = 7–x

3 = x–4

x + 8 = 23

x–5= 8

x+7 = 7

6 = x–6

2 = 7–x

x + 6 = 45

x–9= 6

x–5 = 5

0 = x–0

6 = 9–x

Ejemplo para introducir la multiplicación. 4x = 20 Divido esta igualdad por la
igualdad 4 = 4 y queda x = 5. (Se usóla prop uniforme de la división exacta)
6

7

8

9

10

3x = 21

9x = 45

63 = 7x

ax = 3a

ax = 2a2

8x = 32

2x = 14

40 = 5x

bx = 5b

b2x = 4b3

6x = 24

4x = 36

56 = 8x

nx = an

abx = ab2

Para continuar, nos guiaremos por los ejemplos I y II que usamos al comenzar.

3

11

12

13

14

3x + 6 = 18

5x – 2 = 8

6y + 3 = 21

8x –...