Guía de ejercicios

Gu´ 1
ıa
1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
(a)

dy
1 + y2
+
=0
dx (1 + y 2 )xy

(b) y 2 dx + (x2 − xy)dy = 0
(c) (2 + y)dx − (3 − x)dy= 0
(d) dρ + ρ tan θdθ = 0
(e) xy = 2x + 3y
(f) (x3 + y 3 )dx − xy 2 dy = 0
(g) (x2 − 2y 2 )dx + xydy = 0
(h) x2 y − 3xy − 2y 2 = 0
y dy
y
(i) x sin( )
= ysin( ) + x
x dx
x
(j) xy =

x2 + y 2

dy
− 2y = −x
dx
dy
− 2y = 1 − 2x
x
dx
dy
= 4y
dx
dy
(1 + ex )
+ ex y = 0
dx
dy
cos x
+ y sin x = 1
dx
(1 + x2)dy + (xy + x3 + x)dx = 0
dy
x
+ 2y = 3
dx
dP
+ 2tP = P + 4t − 2
dt

(k) x
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
(q)
(r)

2. Resuelva los siguientes problemas de valorinicial
(a) (3x2 y + 8xy 2 ) + (x3 + 8x2 y + 12y 2 )y = 0; y(2) = 1
(b) (4x3 ex+y + x4 ex+y + 2x) + (x4 ex+y + 2y)y = 0; y(0) = 1
(c) (x − y cos(x)) − sen(x)y = 0;y(π/2) = 1
(d) (yexy + 4y 3 ) + (xexy + 12y 2 − 2y)y = 0; y(0) = 2

3. Determine la constante k de modo que la ecuaci´n resulte exacta y resuelvala.
o
(a) (x3 + 3xy)+ (kx2 + 4y)y = 0
(b) (x−2 + y −2 ) + (kx + 1)y −3 y = 0
4. Sean P (x), Q(x) funciones continuas en la variable x. Considere la ecuaci´n:
o
dy
+ yP (x) = Q(x)
dxEncuentre una soluci´n general para esta ecuaci´n.
o
o
5. Determinar cuales de las siguientes ecuaciones son exactas y resolver las que lo sean
(a)

x+

2
ydy + ydx = 0

(b) (sen x tan y + 1)dx + cos(x) sec2 (y)dy = 0
(c) (y − x3 )dx + (x + y 3 )dy = 0
(d)

ln(ln(y))
x

+ 2 xy 3 + 6x dx +
3

ln(x)
y ln(y)

+x2 y 2 + 4e−2y dy = 0

(e) (2xy 3 − 6x2 y 2 )dx + (3x2 y 2 − 4x3 y)dy = 0
(f) e−x (x + y 2 )dx − 2ye−x dy = 0
(g) (ln(y) − 2x)dx +

x
y

+ y 2 ey dy = 0